FA Арсеньев Функ.Ан

Из леммы 6.2.6 следует, что

Dxmgy( (x y)) = gy(Dxm (x y));

поэтому

kgy( (x y)) j (N ; D(Rp) ; K1)k =

X

supfjDxmgy( (x y))jx 2 K1g =

0 jmj N

X

supfjgy(Dxm (x y))jx 2 K1g

0 jmj N

В силу теоремы 6.2.6 существуют такие не зависящие от и поэтому не зависящие от x константы, что

jgy(Dxm (x y))j C(K2)kDxm (x y) j (M(K2) ; D(Rq) ; K2)k =

Следовательно,

8(K 2 Rp ; N) ; 9(C(K ; N) ; K0 2 Rp+q ; M(K ; N) < 1) :

kgy( (x y)) j (N ; D(Rp) ; K)k < C(K ; N)k j M ; D(Rp+q) ; K0k < 1:

(6.54)

Лемма доказана.

Из леммы 6.2.8 следует, что корректно определено линейное отображение

Из оценки (6.54) следует, что отбражение (6.55) непрерывно.

Определение 6.2.8. Определенное формулой (6.55) отображение называется прямым произведением распределений g 2 D?(Rq) è r 2 D0(Rp):

r g : D(Rp+q) 3 (x y) 7!r g( ) := rx(gy( (x y))):

Аналогом теоремы Фубини для распределений является

Теорема 6.2.9. Прямое произведение распределений коммутативно:

429

Для доказательства этой теоремы докажем имеющую самостоятельный интерес лемму.

Лемма 6.2.9. Множество всех функций вида

N (x1 : : : ; xd) =

причем ряд (6.58) сходится абсолютно, равномерно и его можно дифференцировать почленно любое число раз.

Пусть {(t) -функция типа гриб и

(

{(t) = 1 ; jtj < (4=3)a

0 ; (5=3)a < jtj 2a:

Положим

Лемма 6.2.9 доказана.

Теорема 6.2.9 следует из леммы 6.2.9, так как на функциях вида (6.57) равенство (6.56) верно.

Пример прямого произведения распределений - -функция:

(x) = (x1) : : : (xd):

Из (6.59) следует, что

8(f 2 D0 ; supp b K) : f( N ) ! f( ):

430

Замечание 6.2.1. Подставляя в (6.60) выражения для коэффициентов Фурье, мы получим, что для любого компакта K и любого функционала f 2 D0 существует такая последовательность функций ffN 2 C1(Rd),

n N

Отметим, что отсюда легко следует теорема 6.2.2.

6.3Фундаментальные решения дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами.

Дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами называется оператор вида

jmj=N

В дальнешем мы будем предполагать это условие выполненным.

Определение 6.3.1. Распределение E называется фундаментальным решением для оператора P (D), åñëè

431

Часто вместо термина фундаментальное решеие для оператора P (D) используют термин фундаментальное решеие для уравнения

òàê êàê åñëè E -фундаментальное решение для оператора P (D), то функция

w = E u

есть решение уравнения (6.64):

P (D)(E u) = (P (D)E) u = u = u:

6.3.1Существование фундаментального решения для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами.

В этом параграфе мы будем считать, что пространство основных функций есть D(Rd) и пространство распределений есть D?(Rd): Мы докажем,

что уравнение (6.63) имеет решение в пространстве D?(Rd): Доказатель-

ству мы предпошлем несколько лемм.

Сначала мы напомним известное в теории функций комплексной переменной неравенство.

Лемма 6.3.1. Если функция f(z) аналитична в круге jzj < 1 и непрерывна при jzj 1, то справедливо неравенство

Теперь осталось вспомнить, что модуль интеграла меньше или равен интегралу от модуля интегрируемой функции.

Лемма 6.3.2. Åñëè Q( ) ; 2 C1 -полином степени n со старшим ко-

эффициентом c:

Q( ) = c n + a n 1 +

то существует такой полином Q0( ) степени n, что

Q0(0) = c ; jQ0(exp(i 0))j jQ(exp(i 0))j ; 0 0 < 2 :

432

Доказательство. Пусть

Тогда полином

ãäå C0(N ; d) -число размещений N неразличимых предметов по d ÿùè-

êàì,

C0(N ; d) = CNN+d+1:

Отсюда следут, что

Лемма доказана.

Дифференциальному оператору (6.61) поставим в соответствие полином

0 m N

433

Определим функцию

8( 2 T ) : w( ) = fexp(i 1); : : : ; exp(i d)g 2 Cd:

Лемма 6.3.4. Для любой целой функции F (z) ; z 2 Cd и любого поли- нома P (z) справедливо неравенство

Доказательство. Положим

f( ) = F (z + w( )) ; Q( ) = P (z + w( )) ; 2 C1:

Заметим, что старший коэффициент многочлена Q( ) (коэффициент приN ) равен определяемой равенством (6.67) функции c( ).

Пусть многочлен Q0( ) удовлетворяет условиям:

Q0(0) = c( ) ; jQ0(exp(i 0)j jQ(exp(i 0))j ; 0 0 < 2 :

Существование такого многочлена гарантировано леммой 6.3.2. В силу леммы 6.3.1 справедливо неравенство

1 Z 2

2 0

jF (z + exp(i 0)w( ))P (z + exp(i 0)w( ))jd 0 =

1 Z 2

2 0

jf(exp(i 0))Q(exp(i 0)jd 0 =

1 Z 2

jf(exp(i 0))Q0(exp(i 0)jd 0 jf(0)jjQ0(0)j =

2 0

jF (z)jjc( )j:

Проинтегрируем это неравенство по d и учтем, что в силу периодичности функции w( ) интеграл

1 Z

2 T

jF (z + exp(i 0)w( ))P (z + exp(i 0)w( ))jd

не зависит от 0. Далее воспользуемся леммой 6.3.3.

Лемма доказана. Пусть

z 2 Cd ; z = Re z + iIm z ; Re z 2 Rd ; Im z 2 Rd:

434

Лемма 6.3.5. Преобразование Фурье функции 2 D есть целая функция, которая удовлетворяет оценке

8( 2 D ; supp b K ; N) ; 9(C1(K ; N) ; C2(K ; N)) : jF ( )(z)j

C1(K ; N) exp(C2(K ; N)jIm zj)(1 + jRe zj2) N k j (2N ; D(Rd) ; K)k;

(6.71)

где константы C1(K ; N) ; C2(K ; N) зависят только от N и компакта K = fx j x 2 Rd ; jxij ag, содержащего носитель функции .

Доказательство. Имеем:

Z

F ( )(z) = exp( i(z ; x)) (x)dx =

K

Z

exp( i(Re z ; x)) exp((Im z ; x)) (x)dx;

K

(1 + jRe zj2)N F ( )(z) =

Z

((1 x)N exp( i(Re z ; x))) exp((Im z ; x)) (x)dx =

K

Z

exp( i(Re z ; x))((1 x)N exp((Im z ; x)) (x))dx;

K

Z

j(1 + jRe zj2)N F ( )(z)j j((1 x)N exp((Im z ; x)) (x))jdx

K

C1(K ; N) exp(C2(K ; N)jIm zj)k j (2N ; D(Rd) ; K)k:

Лемма доказана.

Из оценки (6.71) вытекает

Лемма 6.3.6. На пространстве D корректно определен функционал

435

Лемма 6.3.7. На линейном многообразии L(P ) корректно определен линейный функционал

Возьмем преобразование Фурье от обеих частей равенства (6.76) и рассмотрим это преобразование в комплексной плоскости. Получим:

8(z 2 Cd) : P (z)F ( 1)(z) P (z)F ( 2)(z):

Так как преобразование Фурье функции из пространства D есть целая функция, то из этого равенства следует, что

F ( 1)(z) F ( 2)(z);

а отсюда следует (6.77).

Теперь докажем оценку (6.75). Пусть

= P (D) ; 2 D:

Имеем:

l0( ) = l(P (D) ) = (0);

436

Далее мы воспользуемся леммой 6.3.4 и неравенством (6.70). Получим:

Z

jl0( )j jF ( )( )jd

Rd

ZZ

C(P ) @ jF ( )( + w( ))P ( + w( ))jd Ad =

Rd T

0 1

ZZ

C(P ) @ jF ( )( + w( ))jd Ad = C(P )k j B(D)k;

Rd T

ãäå C(P ) -некотрорая константа, зависящая только от полинома P .

Лемма доказана.

Замечание. При доказательстве корректности определения функци- онала l0 следует иметь ввиду, что множество нетривиальных решений уравнения

P (D) = 0

не пусто, но, как показывает доказательство леммы 6.3.7, это множество не содержит функций из D:

Лемма 6.3.8. На пространстве D существует линейный непрерывный функционал l, который на многообразии L(P ) совпадает с функционалом l0.

Доказательство. Из теоремы Хана-Банаха и леммы 6.3.7 следует, что на пространстве B(D) существует линейный функционал l, который на

многообразии L(P ) совпадает с функционалом l0 и на всем пространстве B(D) удовлетворяет оценке

Òàê êàê D B(D) то функционал l определен на всем пространстве D. Из оценки (6.78) и леммы 6.3.6 ( соотношение (6.72)) следует, что функционал l непрерывен на D.

Следующая теорема называется теоремой Мальгранжа-Эренпрайса.

Теорема 6.3.1. У любого ненулевого дифференциального оператора с постоянными коэффициентами в пространстве D0 существет фунда-

ментальное решение.

437

Доказательство. Докажем, что таким фудаментальным решением является функционал

ãäå l -функционал, существование которого гарантировано леммой 6.3.8 и inv оператор инверсии:

inv (x) = ( x):

Имеем

8( 2 D) : P (D)E( ) = E(P ( D) ) = l(invP ( D) ) = l(P (D)inv ) = inv (0) = (0) = ( ):

Теорема доказана.

В пространстве D0 фундаментальное решение не единственно. Пусть

NP = fz j z 2 Cd ; P (z) = 0g

Пусть (dz) -мера с компакным носителем, которая сосредоточена на многообразии NP :

supp (dz) NP :

Положим

Z

w(x) = exp( i(x ; z)) (dz):

Функция w(x) удовлетворяет уравнению

P (D)w = 0:

Пусть E -фундаментальное решение и Ew -распределение, которое по-

рождено функцией w(x). Тогда распределение E +Ew -фундаментальное решение.

6.3.2Примеры вычисления фундаментальных решений.

Фразу функция задает распределение, которое есть фундаментальное решение мы будем сокращать до фразы функция есть фундаментальное решение . К недоразумениям это привести не может.

438