FA Арсеньев Функ.Ан

Последнее соотношение вытекает из поточечной сходимости ряда Фурье бесконечно дифференцируемой периодической функции

Полученное нами соотношение часто записывают в виде

XX

Математическое содержание этой красивой формулы состоит в утверждении, что ряд Фурье бесконечно дифференцируемой периодической

функции сходится в точке x = 0.

6.2.5Дифференцирование и преобразование Фурье распределений.

Определение 6.2.4. Линейный оператор

T : S(Rd)? 7!S(Rd)?

называется непрерывным, если

Оказывается, что в пространстве распределений топология (понятие сходимости) введена так, что естественно определенные операции дифференцирования и преобразования Фурье непрерывны.

Дифференцирование распределений.

Начнем с определения опрерации диференцирования на прямой. Предположим, что распределение f задано медленно растущей функцией f(x):

Z 1

8( 2 S(R1)) : f( ) = f(x) (x)dx:

1

Если производная Df(x) сама есть медленно растущая функция, то эта производная задает распределение

Этот пример мотивирует следующее

419

S(Rd) 3 7!Dm 2 S(Rd)

непрерывно, отображение

S(Rd) 3 7!( 1)jmjf(Dm ) 2 C1

есть композиция линейных непрерывных отображений и поэтому есть линейное непрерывное отображение. Следовательно, наше определение корректно: правая часть равенства (6.46) действительно задает линейный непрерывный функционал на пространстве S(Rd).

Теорема 6.2.7. Операция дифференцирования непрерывна пространстве

S(Rd)?.

Доказательство. Если

S?

fn ! 0 ; n ! 1;

òî

8( 2 S(Rd)) : Dmfn( ) = ( 1)jmjfn(Dm ) ! 0 ; n ! 1;

поэтому

Dmf S? 0 ; n : n ! ! 1

Теорема доказана. Рассмотрм примеры.

1. Пусть распределение 2 S(R1)? задается функцией

(

(x) = 1 ; x > 0;

0 ; x < 0:

Найдем производную этого распределения. По определению имеем:

8( 2 S(R1)) : iD ( = (iD ) = Z 1 d (x)dx = (0):

0 dx

Следовательно,

dxd (x) = (x):

420

Данное равенство нужно понимать в следуещем смысле: производная распределения, задаваемого функцией (x), есть распределение (x). Среди физиков бытует следующая интерпретация этого равенства: производная функции (x) равна нулю всюду, кроме точки x = 0, а в точке

x = 0 эта производная равна бесконечности. Это бессмысленное на пер-

вый взгляд утверждение получает математически корректную интерпретацию, если рассмотреть аппроксимацию распределений в обеих частях данного равенства распределениями, задаваемыми гладкими функциями.

2. Пусть

1 = a0 < a1 < : : : < an < an+1 = 1:

Предположим, что функция f(x); x 2 R1 удовлетворяет оценке

8x: jf(x)j < C(1 + jxj)N ;

непрерывно дифференцируема на каждом интервале (ai ; ai+1) 0 i n и имеет пределы в точках ai ; 1 i n. Положим

(

floc0 (x) = f0(x) ; x 2 (ai ; ai+1) 0 i n;

0 ; x 2 fai j 1 i ng

Предположим, что функция floc0 (x) удовлетворяет оценке

8x: jfloc0 (x)j < C0(1 + jxj)M :

Найдем производную распределения, задаваемого функцией f(x). Имеем:

421

Это равенство означает следующее: производная распределения, задаваемого функцией f(x), есть линейная комбинация -функций, сосредото-

ченных в точках разрыва функции f(x) и распределения, задаваемого

функцией floc0 (x).

3. Найдем первую и вторую производную распределения, задаваемого функцией jxj. Имеем:

dx

Данное равенство нужно понимать так: производная распределения, задаваемого функцией jxj, есть распределение, задаваемое функцией sign (x) =

2 (x) 1.

Используя решение предыдущей задачи, находим:

d2jxj

dx2

= 2 (x):

3. Найдем производную распределения 1

x i0 . Согласно определению, име-

åì:

422

Следовательно,

<jxj<1

4. Найдем производную от -функции. Имеем:

< Dm j >= ( 1)jmj < j Dm >= ( 1)jmjDm (x) :

x=0

Преобразование Фурье медленно растущих распределений.

Если распределение f 2 S(Rd)? задается функцией f(x) 2 S(Rd), то преобразование Фурье функции f(x) задает распределение по формуле

Z

8( 2 S(Rd)) : F (f)( ) = F (f)(x) (x)dx =

ZZ

f(y) exp( ixy) (x)dx dy = f(F ( )):

Как и выше, легко доказывется, что это определение корректно и что отображение

S(Rd)? 3 f 7!F (f) 2 S(Rd)?

непрерывно.

423

Примеры вычисления преобразований Фурье медленно растущих распределений.

Рассмотрим примеры.

1. Найдем преобразование Фурье распределения, задаваемого функцией f(x) 1. Имеем:

Z 1

F (1)( ) = F ( )( )d =

1

F (1)( ) = (2 )d ( ):

Иногда фраза преобразование Фурье распределения, задаваемого функцией f(x) сокращается до фразы преобразование Фурье функции f(x) .

Однако обычно нетрудно понять, о чем идет речь и такая вольность речи не приводит к недоразумениям.

2. Найдем преобразование Фурье распределения, задаваемого функцией f(x) x ; x 2 R1. Имеем:

ZZ

F (x) = 2 i 0(x):

3. Найдем преобразование Фурье распределения, задаваемого функцией(x). Это распределение есть предел распределений, задаваемых функ-

цией (x) exp( x) ; ! 0. Следовательно, преобразование Фурье распределения, задаваемого функцией (x), есть предел распределений задаваемых функцией (x) exp( x) ; ! 0. Преобразование Фурье распределения, задаваемого функцией (x) exp( x), задается преобразованием Фурье функции (x) exp( x):

Z 1

(x) exp( x i x)dx = i( i ) 1:

1

424

Следовательно, преобразование Фурье распределения, задаваемого функцией (x), есть распределение i 1i0 :

F ( (x))( ) = i 1 i0:

4. Найдем преобразование Фурье распределения P x1 . Это распреде- ление есть предел распределения, задаваемого функцией (jxj )=x ; !

0. Следовательно, преобразование Фурье распределения P x1 задается функцией, которая есть предел преобразований Фурье

Случай пространства D?(Rd).

Определение операции дифференцирования в пространстве D?(Rd) è ñâîé-

ства этой операции совпадают с определением и свойствами операции дифференцирования в пространстве медленно растущих распределений. Мы не определяем преобразования Фурье распределений из D?(Rd).

6.2.6Действие аффинной группы на распределения.

Напомним, что аффинной группой называется группа преобразований пространства Rd, которая действует по правилу

Аффинную группу можно отождествить с множеством пар f(A ; a)g, ãäå a 2 Rd. Закон композиции в аффинной

(A1 ; a1) (A2 ; a2) = (A1A2 ; A1a2 + a1):

Формула (6.48) определяет левое действие аффинной группы в Rd, êî- торое порождает левое действие аффинной группы на заданных в Rd функциях:

(A ; a) (x) = (Ax + a):

425

Если функция x 7!f(x) порождает распределение 7!f( ), то функция x 7!f(Ax + a) порождает распределение

Формула (6.49) порождает правое действие аффинной группы на распределения:

Эта формула и принимается за правило замены переменных в распределениях. Приведем пример.

( (A ; a))( ) = jdet(A)j 1 x( (A 1(x a)) = jdet(A)j 1 ( A 1a):

Некоторые авторы считают естественным сопоставить левому действию аффиной группы на точки пространства правое действие группы на функции. В таком случае для сохранения связи между функциями и порождаемыми ими распределениями на распределения аффинная группа должна действовать слева.

6.2.7Свертка рспределения и функции.

В этом пункте формулировки утверждений и доказательства не зависят от того, какие пространства рассматриваются: S èëè D.

Напомним, что сверткой f функций f и называется функция

Z

Rd 3 x 7!f (x) := f(y) (x y)dy:

Свертку распределения и основной функции естественно определить формулой

f (x) = lim fn (x);

n!1

ãäå fn -такая последовательность фукнций, что

Однако при этом возникают проблемы с обоснованием некоторых предельных переходов и удобно поступить иначе.

426

Введем операторы инверсии основной функции: inv (x) := ( x);

сдвига основной функции:

8(z 2 Rd) : t(z) (x) := (x z)

и сдвига распределения:

(t(z)f)( ) := fy( (y + z)):

Эти операции непрерывны в соответствующих пространствах.

Определение 6.2.7. Сверткой распределения f и основной функции называется функция

Корректность данного определения следует из непрерывности операции инверсии и сдвига.

Нужные нам свойства свертки распределения и основной функции перечислены в

Теорема 6.2.8. 1. Свертка коммутирует со сдвигами:

Доказательство первого утверждения проводится прямым вычислением. Имеем:

t(z)(f (x)) = t(z)fy( (x y)) = fy( (x z y)); (t(z)f) (x) = (t(z)f)y( (x y)) =

fy( (x (y + z))) = fy( (x z y)); f (t(z) )(x) = f(t(x)inv(t(z) )) = fy(t(x) ( y z)) = fy( (x y z)):

Переходим к доказательству второго утверждения. Введем оператор lj(4x) : lj(4x) (x) =

1

4x ( (x1; : : : xj + 4x; : : : ; xd) (x1; : : : ; xd)) =

Z 1

(@xj )(x1; : : : ; xj + 4x; : : : ; xd)d :

0

Из непрерывности оператора сдвига в простанствах S(Rd) è D(Rd) следует

427

Лемма 6.2.6. В пространстве S(Rd) и в пространстве D(Rd) справедливо утверждение:

lj(4x) (x) ! @xj (x1; : : : ; xj; : : : ; xd) ; 4x ! 0:

Используя коммутативность оператора свертки со сдвигом и лемму 6.2.6, мы получаем:

@xj (f )(x) = lim lj(4x)(f )(x)

4x!0

lim f lj(4x) (x) = (f @xj )(x):

4x!0

Далее замечаем, что

(Dmf) (x) = (Dmf)y( (x y)) = ( 1)jmjfy(Dym (x y)) = fy((Dm )(x y)):

Теорема доказана.

6.2.8Прямое произведение распределений.

В этом пункте в качестве пространства основных функций и пространства распределений мы будем рассматривать пространства D(Rd) è D?(Rd).

Очевидна

Лемма 6.2.7. Åñëè

z = x y ; x 2 Rp ; y 2 Rq ; (z) 2 D(Rp+q);

то функции

x 7! (x y) ; y 7! (x y)

принадлежат пространствам D(Rp) è D(Rq) соответственно.

Лемма 6.2.8. Åñëè

x 2 Rp ; y 2 Rq ; z = x y ; (z) 2 D(Rp+q) ; g 2 D0(Rq);

òî

gy( (x y)) 2 D(Rp):

Доказательство. Без ограничения общности мы будем считать, что

supp b K1 K2;

K1 = fx j x 2 Rp ; jxjj a ; 1 j pg; K2 = fx j x 2 Rq ; jxjj a ; 1 j qg:

428