FA Арсеньев Функ.Ан

Доказательству теоремы мы предпошлем несколько лемм.

Лемма 6.2.1. Åñëè 2 S(Rd) и функция {(x ; x0 ; R ; ) определена равенством (6.18), òî

Для доказательства леммы нужно вычислить преобразование Фурье от правой части (6.30), воспользоваться примером (6.12) и непрерывностью преобразования Фурье.

Пусть BN -банахово пространство, полученное пополнением пространства S(Rd) по норме k j (N ; S)k ; (y) 2 D(Rd). При фиксированном

y 2 Rd функция !(x y ; a), рассматриваемая как функция переменной x, принадлежит пространству BN .

Лемма 6.2.3. Функция

Rd 3 y ! !(x y ; a) 2 BN ;

рассматриваемая как функция переменной y со значениями в банаховом пространстве BN , непрерывно дифференцируема.

Доказательство этой леммы предоставляется читателю в качестве упражнения (следует разложить функцию !(x y ; a) в ряд Тейлора

y = y0, воспользоваться интегральной формулой для остаточного члена ряда Тейлора и оценить норму остаточного члена в пространстве BN ).

409

Лемма 6.2.5. Справедливо равенство

Z

fx( R ; a(x)) = f(R ; a ; y) (y)dy:

Теперь доказательство теоремы тривиально. Имеем:

Пусть функционал определен равенством (6.25), n -последовательность, удовлетворяющая условию

Запись правой части равенства (6.32) можно упростить, полагая по опре-

Символ (x) в (6.33) не есть обозначение функции и символ интеграла в правой части (6.33) не есть обозначение интеграла Римана: символ(x) есть обозначение функционала, который действует на функцию от

переменной x по правилу, задаваемому левой частью равенства (6.33),

а символ интеграла в правой части равенства (6.33) указывает на то, что функционал может быть вычислен как предел интегралов. Такая система обозначений сложилась исторически и удобна.

Следуя смыслу этих обозначений, для удовлетворяющей разумным условиям функции h(x) по определению полагают

Z Z

def

(h(x)) (x)dx = lim n(h(x)) (x)dx; (6.34)

n!1

ãäå n -удовлетворяющая условию (6.32) последовательность.

6.2.2Сходимость в пространстве распределений.

Определение 6.2.2. Последовательность медленно растущих распределений ffng S(Rd)? сходится к распределению f 2 S(Rd)?, åñëè

Сходимость распределений (условие (6.35)) мы будем обозначать так:

S?

fn ! f:

411

Определение 6.2.3. Последовательность медленно растущих распределений ffng S(Rd)? фундаментальна, если для любого элемента 2

S(Rd) числовая последовательность fn( ) фундаментальна.

Если последовательность медленно растущих распределений сходится, то она фундаментальна. Если последовательность ffng S(Rd)? ôóí-

даментальна, то предел в (6.35) существует. Ниже мы докажем, что этот предел задает медленно растущее распределение. Линейность правой ча-

сти (6.35) по очевидна. Доказательство непрерывности задаваемого

левой частью равенства (6.35) функционала опирается на утверждение, которое есть аналог принципа равномерной ограниченности в теории банаховых пространств.

Пусть

M S(Rd)?:

Положим

m( j M) = supfjf( )j j f 2 Mg:

Доказательство. Пусть условие (6.37) не выполнено. Тогда существет такое > 0 и такие последовательности ff(1 ; n)g M ; f (1 ; n)g S(Rd),

÷òî

S

(1 ; n) ! 0 ; jf(1 ; n)( (1 ; n))j > :

Определим номер n(j) из условия

k (1 ; n(j)) j (j ; S)k < 4 j

и положим

f(2 ; j) = f(1 ; n(j)) ; (2 ; j) = 2j (1 ; n(j)):

Эти последовательности удовлетворяют условиям:

j<

412

òàê êàê

8(j > k) : k (2 ; j) j (k ; S)k < 2 j:

Дальнейшие построения проведем по индукции. Положим

f(3 ; 1) = f(2 ; 1) ; (3 ; 1) = (2 ; 1):

Пусть элементы ff(3 ; p) ; (3 ; p)g ; p j уже выбраны. Далее определим номер j0 из условия

и определим номер j1 из условия

8(k > j1 ; i j) : jf(2 ; i)( (2 ; k))j < 2 j

Положим

f(3 ; j+1) = f(2 ; n(j)) ; (3 ; j+1) = (2 ; n(j)) ; n(j) = max(j0 ; j1):

Пусть

X

=(3 ; j):

1 j<1

Сходимость ряда в пространстве S(Rd) следует из оценки (6.39), так как по построению f (3 ; j)g f (2 ; j)g. Далее имеем:

jf(3 ; j+1)( )j jf(3 ; j+1)( (3 ; j+1))j

Òàê êàê 2 S(Rd), то это противоречит условию (6.36). Теорема дока-

çàíà.

Из доказанной теоремы следует

Если последовательность медленно растущих распределений фундаментальна, то она сходится к медленно растущему распределению.

Доказательство. Пусть функционал f задан равенством (6.35). Докажем, что он непрерывен. Так как для любого 2 S(Rd) последовательность fn( ) фундаментальна, то

8( 2 S(Rd)) : supfjfn( )j j n 2 Zg < 1:

В силу теоремы 6.2.3 отсюда следует:

S

jf( )j supfjfn( )j j n 2 Zg ! 0 ; ! 0:

Теорема доказана.

413

6.2.3Случай пространства D(Rd)

Укажем, какие изменения нужно сделать в формулировке основных теорем для случая пространства D(Rd). Теорема о непрерывности оператора

в пространстве основных функций D(Rd) формулируется так:

Теорема 6.2.5. Линейный оператор

A : D(Rd) 7! D(Rd)

непрерывен в том и только том случае, если для любого компакта K0 è любых N существуют такие константы C(K0 ; N) ; M(K0), и такой компакт K, что

8( ; supp b K0) :

suppA b K ; kA j (N ; D(Rd) ; K0)k < C(K0 ; N)k j (M(K0 ; N) ; D(Rd) ; K)k:

Доказательство теоремы остается без изменений.

Теорема о необходимых и достаточных условиях непрерывности линенейного функционала формулируетя так.

Для того, чтобы линейный функционал f на пространстве D(Rd) был непрерывен, необходимо и достаточно выполнение условия: для любого компакта K существуют такие константы C(K) ; N(K), что выполнено неравенство

8( ; supp b K) : jf( )j C(K)k j (N(K) ; D(Rd) ; K)k: (6.40)

6.2.4Примеры вычисления пределов распределений.

Рассмотрим примеры.

1. Найдем предел при ! 0 функционала, заданного формулой

414

Имеем:

Справедливы равенства

Следовательно,

Таким образом, мы имеем:

Это утверждение нужно понимать в следующем смысле: распределение, задаваемое стоящей в левой части равенства функцией, сходится в про- странстве S(Rd)? к распределению, стоящему в правой части равенства.

Это же утверждение часто записывают в виде:

Формулы (6.43) называют формулами Сохоцкого.

415

2. Найдем предел при n ! 1 распределений, задаваемых функциями

Приведем другой вывод соотношения (6.44). Пусть

[ [

C = ( 1 ; ) fz j z = exp(i ) ; 2 g ( ; 1):

416

На основании теоремы о вычетах и леммы Жордана справедливо равен-

Справедливо равенство

Далее имеем:

Теперь нужно выбрать так, чтобы

! 0 ; n ! 1 ; n ! 1:

Утверждение (6.44) доказано.

4. Вычислим предел распределения

exp(ixt) ; t ! 1:

(x + i0)

Нам нужно вычислить

417

На основе равенства Парсеваля имеем:

Далее имеем:

(

2 i exp( (t + )) ; (t + ) < 0;

0 ; (t + ) > 0:

Следовательно,

5. Рассмотрим функциональную последовательность

X

fn(x) = exp(2 ikx) ; 1 < x < 1:

jkj n

Эта последовательность не имеет предела ни в одной точке x 2 R1: Докажем, что последовательность распределений, задаваемых функциями fn(x), имеет предел. Имеем:

X

418