FA Арсеньев Функ.Ан

Определение 6.1.2. Функция принадлежит пространству Шварца S(R1), åñëè

Отметим полезное неравенство

8(m N ; p N) : jDxm (x)j (1 + x2) p=2k j (N ; S)k:

Следующие функции принадлежат пространству S(R1):

exp( x2) ; 1= ch(x) ; exp( (1 + x2) ) ; > 0:

Свойства функций из пространства S(R1).

Перечислим некоторые очевидные свойства пространства S(R1).

Лемма 6.1.1. 1. Пространство S(R1) -линейное пространство:

8( ; 2 S(R1)) : + 2 S(R1):

2. Пространство S(R1) есть алгебра относительно поточечного умножения функций:

8( (x) 2 S(R1) ; (x) 2 S(R1)) : (x) (x) 2 S(R1):

3. Åñëè (x) 2 S(R1), òî Dm (x) 2 S(R1), причем

4. Åñëè (x) 2 S(R1) и P(x)-любой полином, то P(x) (x) 2 S(R1).

Это свойство можно уточнить: очевидно, что если (x) 2 S(R1) è (x)-любая бесконечно дифференцируемая функция, которая вместе со

всеми производными растет не быстрее степени jxj:

8m ; 9(C(m) ; n(m)) ; 8x : jDxm (x)j < C(m)(1 + jxj)n(m);

òî (x) (x) 2 S(R1).

Напомним определение преобразования Фурье в пространстве Rd:

ZZ

F ( )( ) := exp( ix ) (x)dx ;

x = (x1; : : : xd) ; dx = dx1 : : : dxd; x = x1 1 + : : : + xd d;

399

формулу обратного преобразования Фурье:

и равенство Парсеваля:

Z Z Z Z

(x) (x)dx = (2 ) d F ( ) ( )F ( )( )d :

Иногда в формуле для преобразования Фурье берут знак плюс в экспоненте и соответственно знак минус в экспоненте в формуле для обратного преобразования Фурье. Это приводит к изменению знаков в некоторых других формулах.

Поясним пользу от введения оператора D. Применяя оператор D ê

обеим частям равенства в формуле для обратного преобразоваания Фурье в одномерном случае, мы получаем:

D (x) = 1 Z 1 exp(ix ) F ( )( )d :

2 1

Следовательно,

Мы видим, что оператор D просто коммутирует с оператором диф-

ференцирования: никаких дополнительных множителей не появляется. Напомним формулу для преобразования Фурье от гауссовой экспо-

В дальнейшем нам будет удобно упростить обозначения: мы будем счи- тать, что

2. Åñëè F ( ) 2 S(R1), òî 2 S(R1), причем

8N ; 9(C(N) ; M(N)) ; 8 :

k j (N ; S)k C(N)kF ( ) j (M(N) ; S)k:

400

Доказательство. Достаточно доказать первое утверждение. Пусть x 2 R1. Имеем:

(интегрируем по частям )

Но очевидно (вспомним формулу для производной от произведения двух функций), что существует такая константа C(p ; m), что справедливо неравенство

8y : j(1 Dy2)pym (y)j C(p ; m)(1 + y2) 1k j (2p + m + 2 ; S)k:

Из этого и предыдущего неравенств следует неравенство

C(p ; m)0k j (2p + m + 2 ; S)k;

из которого и следует утверждение леммы.

Так как преобразование Фурье свертки двух функций есть произведение преобразований Фурье этих функций, то из доказанной леммы вытекает

Следствие 6.1.1. Åñëè ; 2 S(R1), то их свертка:

Z +1

(x) := (y) (x y)dy

1

принадлежит пространству S(R1).

Пространство Шварца функций в Rd:

Укажем, какие изменения нужно сделать в предыдущих рассуждениях, чтобы рассмотреть пространство Шварца функций в Rd: Положим в

предыдущих рассуждениях

401

Далее в предыдущих рассуждениях нужно заменить суммирование по индексам 0 m N на суммирование по индексам 0 jmj N,

интеграл по прямой нужно заменить на интеграл по пространству Rd,

оператор Dy2 нужно заменить на оператор Лапласа y. Все остальные рассуждения и формулы остаются без изменения.

Формула (6.5) верна и в многомерном случае, если положить по опре-

делению

8( 2 Rd) : m = 1m1 2m2 : : : dmd:

Ниже мы будем считать, что наши рассуждения относятся к пространству Шварца функций в Rd: Таким образом, в дальнешем мы по-

лагаем

X

k j (N ; S)k := supf(1 + x2)p=2jDxm (x)j j x 2 Rdg: (6.10)

0jmjN;

0 p N:

6.1.2Сходимость в простанстве S(Rd).

Введем понятие сходящейся в пространстве S(Rd) последовательности.

Определение 6.1.3. Последовательность f ng S(Rd) сходится к функции 2 S в пространстве S(Rd), åñëè

Сходимость в пространстве S(Rd) (условие (6.11)) мы будем обозна-

Ясно, что условие (6.11) эквивалентно условию

dS( n ; ) ! 0 ; n ! 1:

Читателю предлагается проверить, что следующие последовательности сходятся к нулю в пространстве S:

а последовательность

(1=n)100 exp( nx2)

не сходится к нулю в пространстве S(Rd).

402

Определение 6.1.4. Последовательность f ng S(Rd) фундаментальна в пространстве S(Rd), åñëè

S(Rd) в том и только том случае, если она фундаментальна в пространстве S(Rd).

Доказательство. Необходимость доказывается дословным повторением доказательства необходимости условия Коши для сходимости последовательности в метрическом пространстве. Докажем достаточность, т.

е. полноту пространства Шварца относительно метрики dS.

è

8N : k n j (N ; S)k ! 0 ; n ! 1;

а это и означает, что последовательность f ng сходится в пространстве S(Rd) к функции . Теорема доказана.

6.1.3Непрерывные операторы в пространстве основных функций.

403

Теорема 6.1.2. Линейный оператор

A : S 7!S

непрерывен в пространстве Шварца в том и только том случае, если

Доказательство. В доказательстве нуждается только необходимость условия (6.17). Пусть оператор A непрерывен, но условие (6.17) не вы-

полнено. Тогда существует такое N0 и такая последовательность n 2 S,

÷òî

kA( n) j (N0 ; S)k n2k n j (n ; S)k:

Положим

n = n=(nk n j (n ; S)k) :

Òàê êàê

8(n M) : k n j (M ; S)k k n j (n ; S)k = 1=n ! 0 ; n ! 1;

òî

S

n ! 0 ; n ! 1:

Íî

kA( n) j (N0 ; S)k n ! 1 ; n ! 1;

что противоречит непрерывности оператора A. Теорема доказана. Из доказаной теоремы вытекает

Теорема 6.1.3. Операции дифференцирования, умножения на полином, невырожденной линейной замены переменных:

(x) 7! (Ax + b) ; detA 6= 0;

преобразования Фурье и обратного преобразования Фурье непрерывны в пространстве S(Rd).

6.1.4Пространство пробных функций D(Rd).

Определение 6.1.6. Компактное множесво K1 строго содержится в компактном множестве K2:

K1 b K2;

если существует такое открытое множество O, ÷òî

K1 O K2:

404

Определение 6.1.7. Заданная в пространстве Rd функция (x) принадлежит пространству D(Rd), если носитель функции (x) компактен и функция (x) бесконечно дифференцируема.

Положим

8( ; supp b K) :

Определение 6.1.7 эквивалентно следуещему:

( 2 D(Rd)) , (9K ; supp b K ; 8N : k j (N ; D(Rd) ; K)k < 1);

ãäå K -компактное в Rd множество.

(

Функция {(x ; x0 ; R ; ) бесконечно дифференцируема и удовлетворяет условиям:

Иногда удобнее рассмотреть функцию вида

(x) = 1(x1) : : : d(xd) ; x = (x1; : : : xd) 2 Rd;

405

ãäå

j(xj) = {(xj ; x0;j ; Rj ; j) ; xj 2 R1

Теперь легко привести пример функции из пространства D(Rd): достаточно взять любую бесконечно дифференцируемую функцию и умножить ее на функцию {(x ; x0 ; R ; ).

Для функций из пространства D(Rd) справедливы утверждения леммы 6.1.1, но преобразование Фурье функции из пространства D(Rd) есть целая функция и не принадлежит пространству D(Rd).

Сходимость в пространстве D(Rd).

D(Rd) не существует метрики, которая задавала бы сходимость.

6.2Распределения.

Те элементарные факты из теории распределений, которые будут доказаны ниже, формулируются и доказываются одинаково и для пространства D(Rd), и для пространства S(Rd). Для определенности мы в основном

рассмотрим случай пространства S(Rd), оставив читателю формулировку и полные доказательства для случая пространства D(Rd) (как правило, в случае пространства D(Rd) доказательства можно упростить).

406

6.2.1Медленно растущие распределения.

Отображение

f : S(Rd) 3 7!f( ) 2 C1

называется линейным функционалом на пространстве S(Rd), åñëè

8( 1 ; 2 2 S(Rd)) : f( 1 + 2) = f( 1) + f( 2):

Линейный функционал на пространстве Шварца f называется непрерывным, если

S

(8( n ! 0 ; n ! 1)) ) (f( n) ! 0 ; n ! 1):

Линейный непрерывный функционал на пространстве Шварца S(Rd) называется медленно растущим распределением.

Множество всех медленно растущих распределений обозначается символом S(Rd)?.

Приведем примеры.

Пусть функция f(x) ; x 2 R1, кусочно-непрерывна и удовлетворяет оценке

Справедлива очевидная оценка:

jf( )j C0k j (m + 2 ; S)k;

из которой следует, что заданный формулой (6.24) линейный функционал непрерывен на S(Rd). Следовательно, формула (6.24) задает медлен-

но растущее распределение. Если функция f(x) и функционал f связаны равенством (6.24), то говорят, что функционал f задается функцией f(x) или что функция f(x) задает функционал f.

Функционал и задающий этот функционал функцию мы обозначи- ли одним и тем же символом. Это не может привести к недоразумениям, так как аргумент функции есть точка пространства Rd, а аргумент функ-

ционала есть функция и из контекста обычно бывает ясно, о чем идет речь. Термин медленно растущее объясняется тем, что функция f(x)

в (6.24) растет не быстее степени. Однако не любое медленно растущее распределение можно представить в виде (6.24). Функционал

407

линеен и непрерывен, но он не может быть представлен как интеграл Римана от произведения кусочно-непрерывной функции и функции из пространства Шварца.

Задаваемый формулой (6.25) функционал называется -функцией.

Позже мы докажем, что любое медленно растущее распределение можно в некотором смысле представить как предел распределений вида (6.24).

Иногда, чтобы подчеркнуть, что функционал f применяется к функ-

öèè

y 7! (y);

значение функционала f на функции мы будем обозначать символом fy( (y)).

Теорема 6.2.1. Линейный функционал f на пространстве Шварца S(Rd) непрерывен в том и только том случае, если

Достаточность условия (6.26) очевидна из определения сходимости к нулю в пространстве Шварца. Доказательство необходимости условия (6.26) аналогично доказательству теоремы 6.1.2. Пусть условие (6.26) не

выполнено. Тогда существует такая последовательность n 2 S, ÷òî

jf( n)j n2k n j (n ; S)k:

Положим

n = n=(nk n j (n ; S)k) :

Òàê êàê

8(n M) : k n j (M ; S)k k n j (n ; S)k = 1=n ! 0 ; n ! 1;

òî

S

n ! 0 ; n ! 1:

Íî

jf( n)j n ! 1 ; n ! 1;

что противоречит непрерывности функционала f. Теорема доказана.

Теорема 6.2.2. Åñëè f 2 S(Rd)?, то существует такая последовательность непрерывных функций с компактными носителями fn(x), ÷òî

408