FA Арсеньев Функ.Ан

Âданном неравенстве заменим

! exp( i h(A)) :

Âлевой части неравенства (5.40) получим:

kW+(B ; A) exp( i h(A)) exp( i h(A)) k2 = k exp( i h(B))W+(B ; A) exp( i h(A)) k2 = kW+(B ; A) exp(i h(B)) exp( i h(A)) k2:

Переходя к правой части неравенства (5.40), во-первых, заметим, что

k exp( i h(A)) j M(A)k k j M(A)k:

Далее замечаем, что справедлива оценка:

Z 1

j < gj ; exp( ibA) exp( i h(A)) > j2db

0

Z 1

j < gj ; exp( ibA) exp( i h(A)) > j2db =

1

Z 1 Z 1

j!(gj ; exp( i h(A)) ) exp( ib )d j2db =

Z Z

2 j!(gj ; exp( i h(A)) ; )j2d = 2 j!(gj ; ; )j2d < const:;

1 1

где константа не зависит от j и . Если функция

7!(gj ; ; )

ступенчатая:

то с учетом неравества h0( ) > 0 мы имеем оценку:

Z 1

jexp( i h( ) ib )!(gj ; ; )d j2 =

1

Z

const:j exp( ib i h( ))d j2 < const0:( + b) 2;

из которой следует, что в рассматриваемом случае правая часть неравенства (5.40) стремится к нулю при ! 1. Общий случай получается

389

из рассмотренного применением теоремы Банаха-Штейнгауза к зависящему от параметра семейству отображений пространства L2(R1 ; d ) â

пространство L2((0 ; 1) ; db)):

Z1

!7! exp( ib i h( ))!( ; )d ;

1

так как множество линейных комбинаций ступенчатых функций плотно в L2(R1 ; d ).

Совершая в неравестве (5.40) предельный переход при ! 1, мы получаем равенство

W+(h(B) ; h(A)) = W+(B ; A):

Если выполнено неравенство h0( ) < 0, то в (5.40) мы делаем замену

! exp(i h(A))

èдалее расуждаем аналогично. Теорема доказана.

Принцип инвариантности волновых операторов позволяет доказать существования волновых операторов для пары операторов A è B â òîì

случае, если удается подобрать гладкую монотонную функцию h( ) так, чтобы оператор h(A) h(B) был бы ядерным.

5.4Формулы для матрицы рассеяния

Изложенный выше метод исследования задачи рассеяния основан на исследовании предела оператора W (t) ïðè t ! 1 и называется нестацио-

нарным методом. Другой подход к задаче рассеяния основан на исследовании пределов резольвент операторов A è B при стремлении спектраль-

ного параметра к точке непрерывного спектра. Этод метод технически более сложен, но позволяет получить формулы для вычисления волновых операторов и оператора рассеяния.

Установим связь между этими двумя методами. Мы начнем с доказательства нескольких вспомогательных утверждений.

Во-первых, покажем, как строится обобщение теории преобразования Фурье-Планшереля (по другой терминологии -гильбертова преобразования Фурье) на функции со значениями в гильбертовом пространстве.

Пусть L2([R1 7!H] ; dt) -множество тех непрерывных функций от t 2 R1 со значениями в гильбертовом пространстве H, которые удовле-

390

В пространстве L2([R1 7!H] ; dt) введем скалярное произведение

Z 1

[f ; g] := < f(t) ; g(t) > dt

1

и норму

kf j L2([R1 7!H] ; dt)k2 := [f ; f]:

Далее тем же символом L2([R1 7!H] ; dt) мы будем обозначать пополне-

ние этого пространства по введенной норме.

На множестве функций f(t) 2 L2([R1 7!H] ; dt) с компактным по t носителем определим преобразование Фурье:

Z 1

F (f)( ) := f(t) exp( it )dt

1

Интеграл по dt здесь понимается как интеграл Бохнера, т. е. как интеграл

Римана от функции со значениями в гильбертовом пространстве. Справедлива формула обращения

f(t) = 1 Z 1 F (f)( ) exp(it )d 2 1

и равенство Парсеваля

[f ; g] = 21 [F (f) ; F (g)]:

Для доказательства этих формул достаточно заметить, что если fejg - ортонормированный базис в гильбертовом пространстве H è

и доказываемые фомулы для функций с компактным по t носителем сле-

дуют из классических формул для скалярного преобразования Фурье. На функции из L2([R1 7!H] ; dt) они распространяются по непрерывности.

Второе замечание, которое нам понадобится ниже, состоит в следующем.

391

Если функция f(t) непрерывна на полуоси [0 ; 1) è

lim f(t) = a < 1;

t!1

òî

Z 1

a = lim exp( t)f(t)dt:

!0 0

Теперь предположим, что волновые операторы W (B ; A) существуют. Тогда

Найдем преобразование Фурье функции

g(t): t 7!(t) exp( t itB) :

Имеем:

Z 1

Воспользовавшись равенством Парсеваля, из (5.41) получим:

392

В общем случае вычисление пределов (5.42)-(5.43) -довольно трудная задача, однако в рассмотренной нами (см. стр. 323) модели Фридерихса эти пределы легко вычисляются.

Воспользовавшись формулами (4.145)-(4.146), мы получаем:

Z 1

1

< R( + i ; B) ; R( + i ; A) > d =

Z 1

1

< Q( + i ; B) ; R( + i ; A)R( i ; A) > d =

Z 1 Z 1

( Q( + i ; B) (x) ((x )2 + 2) 1 (x)dx)d !

1 0

Z 1

Z+ (x) (x)dx =< ; Z+ > :

0

Следовательно

W = Z ;

где операторы Z определены формулой (4.148) на стр. 324.

Обратим внимание на следующее обстоятельство. Операторы Z äèà- гонализуют оператор B и удовлетворяют соотношению:

Z B = AZ ; BZ = Z A;

что согласуется со сплетающим свойством волновых операторов. Так как операторы Z унитарны, то справедлива формула

W = Z = Z 1:

Матрица рассеяния в диагональном представлении операто-

ðà A. Предположим, что пространство H диагонализует оператор A:

H = L2((a ; b) 7!h) ; h = L2( ; d!);

A ( ; !) = ( ; !):

Предположим, что в этом представлении оператор T ( ) ïðè Re 0 есть интегральный оператор с гладким (непрерывным и ограниченным ) по переменным ; ; ядром:

Z

8 > 0 : T ( ) ( ; !) = t( + i0 j ; ! ; ; !0) ( ; !0)d d!0: (5.44)

393

Пусть выполнены сделанные выше предположения и оператор B A ядерный. Тогда оператор рассеяния в пространстве H

задается формулой:

Z

S(B ; A) ( ; !) = ( ; !) 2 i t( + i0 j ; ! ; ; !0) ( ; !0)d!0:

В диагональном представлении оператора A:

R( i ; A)R( + i ; A) = (( )2 + 2) 1 ! ( ) ;

Z

< : : : exp( iAt) : : : ; : : : exp( iAt) : : : > dt =

Z Z Z

(: : : exp(i( )t)dt)d = 2 (: : : : : : ( ))d :

394

Теорема дказана.

В случа модели Фридрихса пространство состоит из одной точки,

è

Мы получили классческую формулу.

5.5Комментарии и литератутные указания

На русском языке изложение математической теории рассеяния есть в книге [22]. В этой книге изложен очень большой материал и подразумевается, что читатель может сам восстановить многие технические детали рассуждений.

Покажем, как традиционные задачи дифракции и рассеяния на короткодействующем потенциале можно исследовать изложенными выше

методами. Пусть L0 è L дифференциальные операторы, которые описывают невозмущенную и возмущенную задачи. Для простоты будем счи- тать, что L0 è L -дифференциальные операторы эллиптического типа.

Пусть G0( ) è G( ) -функции Грина задач Коши:

@ G0( ) = L0G0( ) ; @ G( ) = LG( ):

Функции Грина строятся традиционными методами теории дифференциальных уравнений: последовательными приближениями, потенциалами, продолжением по параметру. Соответствующие построения подробно описаны в учебной литетатуре. При широких предположениях операто-

ðû G0( ) è G( ) -интегральные операторы с хорошими ядрами. Далее самосопряженные расширения операторов L0 è L определяем как инфинитезимальные операторы полугрупп 7!G0( ) ; 7!G( ) и полагаем A = G0( ) ; B = G( ). Если оператор L L0 подчинен (в смысле

теории дифференциальных уравнений ) оператору L0, то оператор B A

оказывается, как правило, ядерным и можно применять изложенную выше теорию. Имеющие физический смысл величины обычно выражаются

через собственные функции непрерывнрго спектра операторов A è B, а эти собственные функции совпадают с собственными функциями операторов G0 è G.

395

Глава 6

Распределения.

Эта глава посвящена элементарной теории распределений (в русской математической литературе распределения часто называют обобщенными функциями) и ее можно читать независимо от остальных глав. Конечно, знакомый с содержанием главы 2 Читатель в приведенных конструкциях узнает прием построения топологии с помощью базы окрестностей нуля и топологии, индуцированной системой отображений, знакомый с содержанием главы 3 в доказательстве теоремы о полноте пространства распределений узнает вариант принципа равномерной ограниченности и т. д. Однако для понимания всех (за исключением теоремы о существовании фундаментального решения дифференциального уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами) утверждений данной главы вполне достаточно тех сведений из математического анализа и на- чал функционального анализа, которые обычно сообщаются студентам на первом и втором курсах физических факультетов университетов. Теоема о существовании фундаментального решения опирается на теорему Хана-Банаха, которую можно принять без доказательства.

6.1Пространство пробных функций.

В теории распределений основными являются два объекта: пространство пробных функций и пространство распределений. Пространство проб-

ных функций -это чаще всего линейное пространство L, на котором задано некоторое множество норм

k k : L 3 x 7!xkk 2 R1+ ; 2 I:

397

Нормой на линейном пространстве называется такая функция k k, которая удовлетворяет условиям:

1:8(x 2 L) : kxk 0 ; (kxk = 0) () (x = 0):

2:kx + yk kxk + kyk:

3:k xk = j jkxk:

Мы рассмотрим два пространства пробных функций: пространство Шварца S(Rd) и пространство функций с компактными носителями D(Rd). Íà-

помним, что носителем функции (x) называется замыкание множества тех точек x, ãäå j (x)j > 0:

supp := Cl(fx j j (x)j > 0 j x 2 Rdg);

а компактные множества в Rd -это ограниченные замкнутые множества.

6.1.1Пространство Шварца.

Сначала мы рассмотрим пространство Шварца на прямой S(R1), îáîá- щение на случай пространства Rd получается переосмыслением обозна-

чений. Пусть

x 2 R1 ; Dxm = ( i@x)m:

Если это не может вызвать недоразумений, в дальнейшем мы будем опускать указание на переменную, по которой берется производная:

Dm Dxm:

В современой теории дифференциальных уравнений широко применяется преобразование Фурье, введение множителя i в оператор дифферен-

цирования избавляет от необходимости писать этот множитель во многих связанных с преобразованием Фурье формулах и стало общепринятым.

Определение 6.1.1. Функция (x) принадлежит пространству Шварца S(R1), если она бесконечно дифференцируема и вместе с производными убывает на бесконечности быстрее любой степени jxj:

0 p N:

Определение 6.1.1 эквивалентно определению

398