FA Арсеньев Функ.Ан

èиз единственности преобразования Фурье следует равество

<; E( ; B)W+(B ; A) >=< W+(B ; A) ; E( ; A) >;

поэтому

8( ; ) : < ; W+(B ; A)E( ; A) >=< ; E( ; B)W+(B ; A) > :

Второе утверждение теоремы доказано. Из этого утверждения следует, что

kE( ; B)W+(B ; A) k = kW+(Bj; ; A)E( ; A)Pac(A) k =

kE( ; A)Pac(A) k:

Правая часть этого равенства есть абсолютно непрерывная функция параметра . Следовательно, W+(B ; A) 2 Pac(B)H.

Теорема доказана.

Соотношение (5.24) называется сплетающим свойством волновых операторов.

Следующая теорема называется теоремой об умножении волновых операторов.

Теорема 5.2.2. Если волновые операторы W (B ; A) и W (C ; B) существуют, то волновой оператор W (C ; A) существует и выполнено равенство

Доказательство. Сначала заметим, что

С учетом этого замечания, имеем:

W (C ; B)W (B ; A) =

Теорема доказана.

379

то волновой оператор W (B ; A) называется полным.

Теорема 5.2.3. Если хотя бы один волновых операторов W (B ; A) полный, то

1. Этот оператор обратим и операторы E( ; B)Pac(B) è E( ; A)Pac(A) унитарно эквивалентны:

8( 2 Pac(B)H) : E( ; B)Pac(B) =

W (B ; A)E( ; A)Pac(A)W (B ; A) 1 (5.28)

2.Существует волновой оператор W (A ; B).

3.Если существуют оба волновых оператора W (B ; A) и W (A ; B), то они полны.

Доказательство. Если выполнено условие (5.27), то к пространствам Pac(A)H ; Pac(B)H и оператору

W (B ; A) 2 L(Pac(A)H 7!Pac(B)H)

мы можем применить теорему Банаха об обратном операторе (см. стр. 168) и первое утверждение теоремы следует из равенства (5.25).

Åñëè

8( 2 Pac(B)H) ; 9( 2 Pac(A)H) : = W (B ; A) ;

òî

Второе утверждение теоремы доказано.

Если существуют оба волновых оператора, то по теореме об умножении волновых операторов имеем:

Pac(A) = W (A ; B)W (B ; A);

Pac(B) = W (B ; A)W (A ; B):

Эти равенства доказывают, что

Pac(A)H = Im(W (A ; B)) ; Pac(B)H = Im(W (B ; A)):

Теорема доказана.

Пусть существуют операторы W (B ; A) ; W (A ; B).

380

Определение 5.2.3. Оператором рассеяния S(B ; A) называется оператор

Теорема 5.2.4. Оператор рассеяния S(B ; A) коммутирует с любой ограниченной борелевской функцией оператора A.

Доказательство. Имеем:

f(A)S(B ; A) = f(A)W+(B ; A) W (B ; A) =

(W+(B ; A)f(A)) W (B ; A) = (f(B)W+(B ; A)) W (B ; A) = W+(B ; A) f(B)W (B ; A) = W+(B ; A) W (B ; A)f(A) =

S(B ; A)f(A):

Теорема доказана.

5.3Признаки существования волновых операторов и принцип инвариантности волновых операторов.

Сначала мы докажем несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 5.3.1. Если K -компактный оператор, то

Доказательство. Используя разложение Шмидта (см. (4.60) на стр. 296), мы получаем:

X

sj(K)2j < gj ; exp( itA) > j2 + sn(K)2k k2 ; sn(K) ! 0 ; n ! 1:

1 j n

Íî

Z

8( 2 Hac) : < gj ; exp( itA) >= exp( it )!(gj ; ; )d ! 0 ; t ! 1;

что и доказывает наше утверждение.

Следующая важная в теории рассеяния лемма называется леммой М. Розенблюма.

381

Если T - оператор Гильберта-Шмидта (см. определение нормы Гильберта-Шмидта на стр. 300)и 2 M(A) (определение этого пространства см. на стр. 375), то справедлива оценка:

Z

Доказательство. Используя разложение Шмидта, мы получаем:

!

Z Z

X

kT exp( itA) k2dt = sj(T )2j < gj ; exp( itA) > j2 dt =

1 j<1

ZZ

X

sj(T )2 j !(gj ; ; ) exp( i t)d j2dt:

1 j<1

Используя равенство Парсеваля для преобразования Фурье по и неравенство (5.14), мы получаем:

Лемма доказана.

Пусть A è B -самосопряженные операторы с общей областью определения

Dom(A) = Dom(B) = D

è R -плотное в Hac множество:

Cl(R) Hac;

которое содержится в области определения операторов A è B:

R D:

Множество R с такими свойствами всегда существует: можно положить

R = Mb(A), и множеств с такими свойствами может быть много.

Следующее простое утверждение оказывается очень полезным в теории рассеяния. Это -признак Кука существования волновых операторов.

382

Лемма 5.3.3. Если множество R удовлетворяет описанным выше требованиям и

то в силу теоремы Банаха-Штейнгауза (см. стр. 161) для доказательства существования пределов (5.20)-(5.21) для всех 2 Hac достаточно до- казать существование этих пределов для 2 R. Òàê êàê 2 Dom(A), òî

Z t

8(t > s > s( )) : k(W (t) W (s)) k k(B A) exp( i A) kd < :

s

Существование предела (5.21) доказывается аналогично. Лемма доказана.

Рассмотрим пример. Пусть

H = L2(R3) ; A = ; B = + V;

ãäå V -оператор умножения на действительную непрерывную функцию v(x), которая удовлетворяет оценке

383

Так как правая часть этого равенства есть абсолютно непрерывная функция параметра при любом 2 H, то в рассматриваемом случае

Pac(A)H = Hac = L2(R3)

èу оператора A нет сингулярного спектра.

Âсилу известной в теории преобразования Фурье теоремы Винера множество функций вида

X

=j exp( (x aj)2) ; aj 2 R3 ; n = 1 ; 2 : : :

1 j n

плотно в L2(R3), поэтому для доказательства существования волновых операторов W (B ; A) достаточно доказать, что

ãäå

J(t) = kV exp( itA) 0k ; 0 = exp( (x a)2):

Имеем:

exp( itA) 0(x) = F 1(exp(it 2)F (exp( ( a)2))(x) =(t) 3=2 exp( (x a)2= (t)) ; ãäå (t) = 1 + 4it:

В силу оценки (5.34)

jV exp( itA) 0(x)j < Cj (t)j 3=2(1 + jxj) (1+ ) exp( (jx aj=j (t)j)2):

Пусть число q удовлетворяет оценке

const:j (t)j 3=2q:

Òàê êàê 3=2q > 1, то отсюда следует оценка (5.35).

Одним из основных признаков существования волновых операторов является следующий.

384

Теорема 5.3.1. Пусть A и B -самосопряженные операторы с общей областью определения

Dom(A) = Dom(B) = D

и оператор C = B A продолжается по непрерывности до ядерного оператора. Тогда волновые операторы W (B ; A) существуют и полны.

Доказательству этой теоремы мы предпошлем несколько лемм. Мы будем доказывать существование оператора W+(B ; A), доказательство

существования оператора W (B ; A) аналогично. Пусть

Z(t ; s) = W (t) (W (t) W (s)) =

id exp(itA) exp( i(t s)B) exp( isA):

Прямым вычислением доказывается

Лемма 5.3.4. Справедливо равенство

k(W (t) W (s)) k2 =< ; Z(t ; s) > + < ; Z(s ; t) > : (5.36)

В формуле (5.37) и в аналогичных формулах ниже символом [D ; F ]

мы обозначаем оператор, который задает квадратичную форму на области D (и не обязательно является оператором в пространстве H):

8( 2 D) : < ; [D ; F ] >:=< D ; F > < F ; D > :

Лемма 5.3.5. Справедливо равенство

8( 2 D ; a > 0) : < ; Z(t ; s) >=

< ; exp(iaA)Z(t ; s) exp( iaA) > +

Za

i < ; exp(i(a + t)A)[C ; exp( i(t s)B)] exp( i(s + b)A) > db:

0

(5.37)

Доказательство. Справедливо равенство

< ; Z(t ; s) > < ; exp(iaA)Z(t ; s) exp( iaA) >=

Za

i < ; exp(i(b + t)A)[A ; exp( i(t s)B)] exp( i(s + b)A) > db:

0

385

Íî

[A ; exp( i(t s)B)] = [A + C ; exp( i(t s)B)] [C ; exp( i(t s)B)];

[A + C ; exp( i(t s)B)] = [B ; exp( i(t s)B)] = 0

Лемма доказана.

Лемма 5.3.6. Справедливо соотношение:

8( 2 D) : lim k exp(iaA)Z(t ; s) exp( iaA) k = 0:

Z t d exp(i B) exp( i( + a)A) > d =

s d

iW (t) exp(i B)(B A) exp( i( + a)A) d :

t

Z

kC exp( i( + a)A) kd ! 0 ; a ! 1:

s

Z 1

8( 2 M(A)) : R(g ; ; t) = j < g ; exp( ibA) > j2db:

t

Сходимость интеграла следует из леммы М.Розенблюма. Пусть

X

C = sj(C) < gj ; > ej

1 j<1

-разложение Шмидта оператора C. Так как оператор C ядерный (определение ядерного оператора и ядерной нормы см. на стр. 305), то

j<

и это неравенство мы ниже учитываем.

386

Лемма 5.3.7. Справедлива оценка

8( 2 M(A) ; a > 0) :

Z a

j< ; exp(i(t + b)A) exp( i(s t)B)C exp( i(s + b)A) > dbj

Доказательство. Имеем:

Z a

j< ; exp(i(t + b)A) exp( i(s t)B)C exp( i(s + b)A) > dbj

Далее в силу леммы М.Розенблюма имеем:

Z 1

j < ; exp(i(t + b)A) exp( i(s t)B)ej > j2db =

1

Z 1

j < exp( ibA) ; exp( i(s t)B)ej > j2db

1

2 k j M(A)k2:

Подставляя это неравенство в предыдущую оценку, получаем нужное утверждение.

Лемма доказана. Аналогично доказывается

Лемма 5.3.8. Справедлива оценка

8( 2 M(A) ; a > 0) :

Z a

j< ; exp(i(t + b)A) exp( i(s t)B) exp( i(s + b)A) > dbj

387

Лемма 5.3.9. Справедлива оценка:

8( 2 M(A)) : k(W (t) W (s)) k2

X

(8 )1=2k j M(A)k sj(C)(R(gj ; ; s)1=2 + R(ej ; ; t)1=2): (5.39)

1 j<1

Доказательство. Сначала используем равенство (5.36). Затем переходим в (5.37) к пределу a ! 1 и используем оценки лемм 5.3.7-5.3.8.

Из оценки (5.39) легко следует утверждение теоремы. Действительно, из леммы М.Розенблюма следует, что

(R(gj ; ; s)1=2 + R(ej ; ; t)1=2) < const:;

ãäå const: не зависит от j, и из той же леммы следует, что

8j : (R(gj ; ; s)1=2 + R(ej ; ; t)1=2) ! 0 ; min(t ; s) ! 1:

Так как ряд (5.38) сходится, то из (5.39) следует, что

8( 2 M(A)) : k(W (t) W (s)) k ! 0 ; min(t ; s) ! 1:

Мы доказали, что если 2 M(A), то функция t 7!W (t) имеет пре-

äåë ïðè t ! 1. Так как пространство M(A) плотно в Hac, то теорема

доказана.

Следующее утверждение называется принципом инвариантности волновых операторов и позволяет существенно расширить область применимости теоремы 5.3.1.

Теорема 5.3.2. Если выполнены условия теоремы 5.3.1 и h( ) -такая действительная непрерывно дифференцируемая функция, что

8 : jh0( )j > 0;

то волновые операторы W (h(B) ; h(A)) существуют, причем

(8 : h0( ) > 0) ) (W (h(B) ; h(A)) = W (B ; A)); (8 : h0( ) < 0) ) (W (h(B) ; h(A)) = W (B ; A)):

Доказательство. Полагая в (5.39) s = 0 ; t ! 1, мы получаем:

8( 2 M(A) : kW+(B ; A) k2

j<

388