FA Арсеньев Функ.Ан

4.10Коментарии и литературные указания.

Изложенные в этой главе сведения из теории гильбертовых пространств есть во многих учебниках функционального анализа. С точки зрения автора, для специалиста по математической физики интересены учебники [34, 31, 42]. При изложении спектральной теории мы использовали теорему Вейрштрасса и явную конструкцию гомоморфизма алгебры функций в алгебру операторов. Можно существенно упростить доказательства, если опираться на некоторые теоремы и констукции общей алгебры (понятия кольца и идеала). Простое изложение спектральной теории, которое использует алгебраические конструции, есть в [41] , [44]. Интересный подход к понятию положительных элементов развит в параграфе 2.2.2 книги [37]. Для физика будет интересена трактовка спектральной теоремы с точки зрения теории оснащенных (rigged) гильбертовых пространств. С этим направлением можно познакомиться по работам [47] , [48] , [49]. В последнее время стал популярен подход к построению спектральной функции, который опирается на аналитические свойства резольвенты оператора и методы теории функций комплексного переменного. Доступное изложение этого подхода есть в лекциях [43].шроко испол

Модель Фридерихса обсуждается в работах [50, 51].

Мы описали только один из возможных подходов к построению расширния операторов: расширение по Фридрихсу. Это расширение часто используется в математической физике. Расширение по Фридрихсу можно построить на основе вариационной процедуры, которая описана, например, в книге [42]. В теории расширения симметричных операторов

большую роль играют индексы дефекта симметричного оператора A:

n = dim(Ker(iid A )):

Теория расширений дифференциальных операторов с обыкновенными производными изложена в книге [45]. С теорией расширения эллиптиче- ских дифференциальных операторв в частных производных можно познакомиться по цитированной в [46] литературе. Изложение общей теории расширений теории есть в книгах [31, 42].

Книга [38] донесет до читателя свежесть первоисточника. Для подготовленного читателя будет интересна книга [35]. Стандартым источником ссылок на математические проблемы квантовой физики являются книги [23]-[26].

369

Глава 5

Элементы математической теории рассеяния.

5.1Абсолютно непрерывный и сингулярный спектр оператора.

Пусть H -сепарабельное гильбертово пространство, A -самосопряженный оператор в H, E( ; A) -спектральная функция оператора A. Мы будем считать, что функция E( ; A) доопределена нулем на множество f < inf (A)g и доопределена как единичный оператор на множество f > sup (A)g (если эти множества не пусты).В дальнейшем по умолчанию все интегалы без указания пределов интегрирования берутся от 1 äî

1.

Пусть [a ; b] R1 -произвольный отрезок, Bor([a ; b]) алгебра все борелевских подмножеств отрезка [a ; b]. Каждому множеству m 2 Bor([a ; b]) поставим в соответствие задаваемый квадратичной формой проектор:

Åñëè A -компактный оператор, то

X

( j m) = j jj2;

j2m

371

ãäå j -собственные значения оператора A, j -коэффициенты Фурье по собственным функциям оператора A.

Åñëè A = , òî

Теорема 5.1.1. Пространство H есть прямая сумма двух пространств:

отрезке [a ; b] сингулярна относительно меры Лебега на R

íèå (5.3) приводит оператор A: если f -любая ограниченная борелевская функция на R1, òî

Доказательство. Обозначим символом jmj меру Лебега множества m 2 Bor([a ; b]). Напомним, что мера ( j ) абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, если

(jmj = 0) ) ( ( j m) = 0):

Определим множество Hac H : 2 Hac, åñëè 8[a ; b] R1 на отрезке [a ; b] ìåðà ( j ) абсолютно непрерывна относительно меры Лебега.

Множество Hac есть линйное пространство, так как если 2 H ; 2 H, òî

< ( + ); P (m)( + ) >=< ; P (m) > + < ; P (m) >

+ 2Re < ; P (m) >= 0;

ïðè

< ; P (m) >= 0 ; < ; P (m) >= 0:

В силу непрерывности проектора P (m) множество Hac замкнуто. По тео-

реме Леви о проекции

H = Hac Hac?:

Ниже мы докажем, что

372

Получим другое описание пространств Hac è Hs. Òàê êàê

X

H = (E(n ; A) E(n 1 ; A))H;

n

то достаточно рассмотреть случай, когда

; 2 (E(n ; A) E(n 1 ; A))H:

Рассмотрим сужение меры ( j ) на отрезок [a ; b] R1. По теореме Лебега о разложении меры справедливо равенство

ãäå ìåðà ac( j ) абсолютно непрерывна относительно меры Лебега:

Заметим, что входящее в (5.8) множество m0 зависит от ,и когда это существенно, мы будем писать

m0 = m0( ):

Пусть множество m0 удовлетворяет условию (5.8). Положим

Òàê êàê

I(C(m0) j ) + I(m0 j ) 1;

òî

Докажем, что мера ( ac j ) абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, а мера ( s j ) сингулярна относительно меры Лебега.

373

Имеем:

Z

( ac j m) = I(m j )d < ac ; E( ; A) ac >=

Z

\

I(m j )I(C(m0))d < ; E( ; A) >= ( j m C(m0)) =

\ \ \

ac( j m C(m0)) + s( j m C(m0)) = ac( j m C(m0));

òàê êàê

\ \ \

s( j m C(m0)) = s( j m C(m0) m0) = 0:

Аналгично,из (5.10) следует, что

\

( s j m) = ( j m m0);

поэтому мера ( s j ) сингулярна. Пусть

=ac + s

-разложение произвольного элемента 2 H. Имеем:

ac( j m0( ))jk k2 = 0:

Итак, мы доказали равенство (5.5) Из (5.9) следует, что

(f(A) ac j m) supfjf( )j2g ( ac j m);

поэтому

( ( ac j m) = 0) ) ( (f(A) ac j m)) = 0);

è

f(A)Hac Hac:

Из (5.10) следует, что

\

(f(A) s j m) = (f(A) s j m m0);

374

поэтому

f(A)Hs Hs:

Спектр сужения оператора A на пространство Hac называется абсолютно непрерывным спектром оператора A. Спектр сужения оператора A на пространство Hs

оператора A.

Теорема 5.1.2. Åñëè ëèáî 2 Hac, ëèáî 2 Hac, то функция

7!< ; E( ; A) >

абсолютно непрерывна на любом отрезке [a ; b] R1 è

Z

9(!( ; ; ) 2 L1(R1)) : < ; E( ; A) >= !( ; ; )d : (5.12)

1

Определенная равенством (5.12) функция !( ; ; ) удовлетворяет следующим условиям:

определяет на этом множестве норму.

Доказательство. Во-первых, заметим, что если либо 2 Hac, ëèáî 2 Hac, òî

< ; E( ; A) >=< ac ; E( ; A) ac > :

Далее заметим, что если 2 Hac, то на любом отрезке [a ; b] R1 ôóíê- öèÿ

7!< ; E( ; A) >

375

не убывает и мера ( j ) абсолютно непрерывна относительно меры Лебега. Следовательно,

9(!( ; ; ) 2 L1([a ; b]) ; ï.â. !( ; ; ) 0) :

Z

8(m 2 B([a ; b]) : ( j m) = !( ; ; )d :

m

Òàê êàê

Z b

8(a ; b) : !( ; ; )d = k(E(a ; A) E(b ; A) k2 k k2;

a

òî

!( ; ; ) 2 L1(R1):

Утверждение (5.12) теперь следует из поляризационного тождества. Из теоремы 1.2.19 следует, что функция

по мере Лебега почти всюду дифференцируема и

то из неравенства Коши-Буняковского следует, что

< ; (E( + ; A) E( ; A)) > j2

< ; (E( + ; A) E( ; A)) > < ; (E( + ; A) E( ; A)) > :

Деля обе части этого неравенства на 2 и переходя к пределу ! 0,

мы получим неравенство (5.14).

Равенство (5.15) есть следствие равенства (5.12) и определения функции от оператора.

Положим

\

8( 2 Hac) : r( ; n) = f j !( ; ; ) < n2g [ n ; n]:

376

Пусть rb( ; n) -борелевское множество, которое удовлетворяет условиям: rb( ; n) r( ; n) ; jr( ; n) n rb( ; n)( ; n)j < 2 n:

Пусть

P ( ; n) := OpbA(I(rb( ; n) j )):

Очевидно, что

8( 2 Hac) ; !( ; P ( ; n) ; P ( ; n) ) = I(rb( ; n) j )!( ; ; ) < n2;

Z

k P ( ; n) k2 = (1 I(rb( ; n) j )!( ; ; )d ! 0 ; n ! 1:

Теорема доказана. Заметим, что множество

n<

удовлетворяет условиям:

\

Mb(A) M(A) Dom(A) ; Cl(Mb(A)) = Hac(A):

Из равенства (5.18) следует, что если производная функции

7!E( ; A)

существует, то она равна нулю.

5.2Волновые операторы и оператор рассеяния.

Пусть Pac(A) проектор на абсолютно непрерывное подпространство оператора A:

Pac(A)H = Hac:

Пусть B -самосоряженный оператор в H.

Определение 5.2.1. Если существуют пределы

то эти пределы называются волновыми операторами.

377

Далее следуют равенства, в которых есть индексы . Эти равенства

мы будем понимать как независимые равенства, в обеих частях которых берутся либо верхние индексы, либо нижние.

Определение волновых операторов можно сформулировать так:

8 : lim kW (B ; A) exp(itB) exp( itA)Pac(A) k = 0: (5.22)

t! 1

Условия существования волновых операторв мы обсудим позже, а сейчас мы будем предполагать, что эти операторы существуют и установим их простейшие свойства.

Теорема 5.2.1. Если волновые операторы W (B ; A) существуют, то тогда

Проведем доказательство для знака +. Имеем:

kW+(B ; A) k = lim k exp(itB) exp( itA)Pac(A) k =

t!1

lim k exp( itA)Pac(A) k = kPac(A) k:

t!1

Первое утверждение теоремы доказано. Далее имеем:

8( 2 R1) : W+(B ; A) exp( i A) =

lim exp(itB) exp( itA) exp( i A)Pac(A) =

t!1

exp( i B) lim exp(itB) exp( itA))Pac(A) = exp( i B)W+(B ; A) ;

t!1

следовательно,

exp( i B)W+(B ; A) = W+(B ; A) exp( i A):

Поэтому

8( ; ) : < ; exp( i B)W+(B ; A) >=

< ; W+(B ; A) exp( i A) >=< W+(B ; A) ; exp( i A) >;

378