FA Арсеньев Функ.Ан

4.9Преобразование Келли и спектральное разложение неограниченных операторов.

Дробно-линейное преобразование

z 7!(z i)=(z + i)

переводит прямую R1 в окружность

z = exp(i ) ; 0 2 :

Спектр любого самосопряженного оператора лежит на действительной оси. Следовательно, если A -ограниченный самосопряженный оператор, то по теореме об отображении спектра спектр оператора

лежит на единичной окружности и оператор Ca(A) унитарен. Мы докажем, что оператор Ca(A) унитарен для любого самосопряженного оператора A.

Лемма 4.9.1. Если A -произвольный самосопряженный оператор, то формула (4.230) корректно определяет оператор Ca(A).

Доказательство. Если A -самосопряженный оператор, то в силу теоремы 4.7.3

Dom(A + iid) 1 = H ; Im((A + iid) 1) Dom(A iid);

поэтому произведение операторов в (4.230) корректно определено и

Dom(Ca(A)) = H.

Определение 4.9.1. Определенный формулой (4.230) оператор Ca(A) называется преобразованием Келли оператора A.

Прямое вычисление показывает, что справедлива

Лемма 4.9.2. График оператора Ca(A) есть множество

Из этой леммы вытекает

359

Лемма 4.9.3. Преобразование Келли самосопряженного оператора удовлетворяет условиям:

и унитарно.

Доказательство. Так как оператор A самосопряжен, то в силу теоремы 4.7.3

Im(A iid) = H:

Отсюда следуют первые два утверждения леммы. Второе утверждение леммы следует из равенства (4.189). Из этого же равенства следует, что множество

Gr(Ca(A) 1) := f(A iid)h (A + iid)h j h 2 Dom(A)g

есть график оператора. Очевидно, что это график оператора, обратного к Ca(A).

Из равенства (4.189) и леммы 4.231 следует, что оператор Ca(A) изометричен:

8( 2 H) : kCa(A) k = k k:

Так как оператор Ca(A) изометричен и обратим, то он унитарен. Лемма доказана.

Пусть A -ограниченный самосопряженный оператор. Тогда спектр его преобразования Келли Ca(A) лежит на дуге

z = exp(i ) ; 0 < 1 2 < 2

и точка z = 1 не принадлежит спектру оператора Ca(A). Следовательно, оператор (Ca(A) id) 1 существует и

Поэтому согласно теореме 4.6.2 справедливо равенство

8( 2 H ; f 2 Bor(R1)) : < ; f(A) >=

360

Интеграл в (4.234) нужно понимать как интеграл Лебега-Стльтьеса. Подставив в формулу (4.234) вместо функции f характеристическую

функцию полуинтервала (1 ; ], мы получим:

8( 2 H ; = ctg( =2)) : < ; E( ; A) >=< ; Eun( ; Ca(A)) > :

Если оператор A неограничен, то точка z = 1 принадлежит спектру оператора Ca(A) и оператор (Ca(A) id) 1 не существует, поэтому предыду-

щие рассуждения для неограниченного оператора не проходят. Но ограниченную функцию от неограниченного оператора можно просто определить равенством (4.234). Покажем, как это можно сделать.

Напомним, что заданная на действительной прямой функция измерима по Борелю, если ее сужение на любое компактное множество измеримо по Борелю.

Преобразование

Ca : Ca(f)( ) = f( ctg( =2)

переводит алгебру всех ограниченных измеримых по Борелю функций на действительной оси Bor(R1) в алгебру Bor([0 ; 2 ]). Пусть A -произвольный

(ограниченный или нет) самосопряженный оператор. Ниже под отобра- жением OpCa(A) нам будет удобно понимать его регуляризацию, которая стоится так. Для неотрицательных ограниченных измеримых функций f 2 Bor([0 ; 2 ]) мы полагаем

8( 2 H) : < ; OpCa(A)(f) >:=

lim < ; OpCa(A)(I([ ; 2 ] j )f) > : (4.235)

!0

где в правой части OpCa(A) -заданное определением 4.5.2 (см. стр. 316) отображение. Существование предела в (4.235) очевидно, так как правая часть (4.235) ограничена и не убывает как функция . На остальные

функции f 2 Bor([0 ; 2 ]) отображение OpCa(A) распространяется по ли- нейности. Из теоремы 4.6.1 и формулы (4.234) вытекает

Теорема 4.9.1. Отображение

переводит алгебру Bor(R1) в коммутативную подалгебру алгебры L(H 7! H) и удовлетворяет условиям теоремы 4.5.1, а если оператор A огра-

ничен, то отображение (4.236) совпадает с описанным в теореме 4.5.1 отображением OpbA.

361

Из теоремы 4.9.1 следует что для ограниченных операторов A функция

совпадает с введенной в определении 4.5.3 спектральной функцией, для неограниченных операторов A мы определим спектральную функцию равенством (4.237).

Теорема 4.9.2. Вектор принадлежит области определеня оператора A в том и только том случае, если сходится понимаемый как несоб-

(4.238) è â

Следовательно,

<; Eun( ; Ca(A)) >=

Заметим, что правая часть (4.239), вообще говоря, не дифференцируема по . Однако если

1 ; 2 2 [ ; 2 ] ; > 0;

то в силу равенства (4.239):

< ; (Eun( 2 ; Ca(A)) Eun( 1 ; Ca(A)) >=

(sin( =2)) 2(1 + o(1)) < ; (Eun( 2 ; Ca(A)) Eun( 1 ; Ca(A)) >;

362

ãäå

o(1) ! 0 ; j 1 2j ! 0 ; 2 [ 1 ; 2] [ ; 2 ] ; > 0:

Вспоминая определение интеграла Римана-Стильтьеса (см. стр. 57), мы получаем:

Существование предела следует из того факта, что правая часть выписанного равенства ораничена сверху и не убывает как функция .

Мы доказали, что если принадлежит области определеня оператора A, то интеграл в (4.238) сходится. Теперь предположим, что интеграл в (4.238) сходится и докажем, что принадлежит области определения оператора A.

Пусть

n = (Eun(2 1=n ; Ca(A)) Eun(1=n ; Ca(A))) :

Тогда

n ! ; n ! 1 ; n 2 Dom(A);

а из сходимости интеграла (4.238) следует, что существует предел

A n ! y ; n ! 1:

Из замкнутости оператора A следует, что

2 Dom(A) ; A = lim A n

n!1

Теорема доказана.

Из формулы (4.238) следует, что

ãäå

( jd ) = d < ; Eun( ; Ca(A)) > :

В дальнешем нам будет удобно перейти к мере (см. (4.237) на стр. 362)

363

Очевидно, что порожденная функцией распределения

Формула (4.244) позволяет дать описание произвольного самосопряженного оператора в терминах оператора умножения на независимую переменную в пространстве L2(X).

Теорема 4.9.3. Пусть A самосопряженный оператор в сепарабельном гильбетровом пространстве H. Тогда существуют следующие объекты:

1.нормированные на единицу борелевские меры f j(d ) j 1 j < 1g,

2.разложение гильбертова пространства H в прямую сумму

которые обладают следующими свойствами

1. пространства Hj приводят любую ограниченную борелевскую функцию от оператора A:

8(j ; f 2 BorR1) : f(A)Hj Hj;

2. в пространстве Hj оператор f(A) унитарно эквивалентен оператору умножения на функцию f( ) в пространстве L2(R1 ; j(d )):

364

Доказательство. Фиксируем произвольно нормированный вектор e1 2 H. Пусть

1(d ) = d < e1 ; E( ; A)e1 >;

H1 = Clff(A)e1 j f( ) 2 L2(R1 ; 1(d ))g:

Из (4.244) следует, что пространство H1 унитарно изоморфно простран- ñòâó L2(R1 ; 1(d )), и этот изоморфизм осуществляется унитарным опе-

ратором

T1 : H1 3 f(A)e1 7!f( ) 2 L2(R1 ; 1(d ));

причем

8(g 2 Bor(R1)) : T1(g(A)e1) = g( )T1(e1) = g( ):

Åñëè H1 6= H, то в пространстве H1? мы возьмем нормированный вектор e2 и повторим наше построение. Так мы получим (далее мы рассуждаем также, как на стр. 171, векторов ej может быть не более чем счетное число) разложение пространства H в прямую сумму пространств

X

H = Hi ;

i

в каждом из которых оператор H унитарно эквивалентен оператору

умножения в пространстве L2(R1 ; j(d )). Описанная выше конструкция является одним из вариантов общей спектральной теоремы . Если оператор A самосопряжен и компактен, то в качестве векторов ej можно

брать собственные векторы оператора A, и тогда мы получим удобное

описание оператора. В общем случае для получения удобного описания оператора приходится сужать класс рассматриваемых операторов и прибегать к дополнительным приемам (вводить нак называемое оснащение

365

ãäå

Поэтому

Иногда (особенно в теории рассеяния) бывает полезна следующая конструкция. Пусть A -самосопряженный оператор и C(( (A) 7!h) -

множество непрерывных на (A) функций со значениями во вспомогательном гильбертовом пространстве h.

В дальнейше мы будем считать, что h = L2( ; d!), где -компактное топологическое пространство, а d! -пополнение борелевской меры на .

В случае неограниченного интервала предплагается, что носитель каждой функции компактен. Введем в C(( (A) 7!h) скалярное про-

изведение:

8(f( ) 2 C(( (A) 7!h) ; g( ) 2 C(( (A) 7!h)) :

Zb

<f ; g >:= < f( ) ; g( ) >h (d );

a

366

ãäå (d ) -борелевсая мера на (A). Пусть пространство L2( (A) 7!h) есть пополнение пространства C(( (A) 7!h) по норме

Z

kf j L2( (A) 7!h)k2 = kf( ) j hk2 (d ):

(A)

Определение 4.9.2. Унитарное отображение

U : H 7!L2( (A) 7!h);

называется диагонализируещим преобразованием, если при этом отображении оператор A переходит в оператор умножения:

8(f 2 Dom(A)) : UAf( ) = Uf( ):

В пространстве L2( (A) 7!h) функция от оператора A действует как оператор умножения на функцию, и это часто упрощает изучение оператора A.

Приведем примеры.

Пусть оператор A компактен и пусть j ; j -åãî собственные значения и собственные функции. Тогда:

(A) = f jg ; A j( ; j) = j j( ; j):

В этом случае можно положить:

h = C1 ; L2( (A) 7!h) = l2 ; Uf( j) =< ( ; j) ; f > :

Если постранство H = L2(Rn ; dx), а преобразование U ìû èùåì â âèäå

Вообще говоря, решения уравнения (4.248) могут не принадлежать пространству L2(Rn ; dx) (проблема ненормируемых собственных функций

непрерывного спектра ). В этом случае преобразование U не может быть задано формулой (4.247) íà âñåõ функциях из L2(Rn ; dx): обычно удается задать его этой формулой на плотном в L2(R2 ; dx) множестве.

Сейчас для наиболее часто встречающихся случаев разработана эффективная техника решения этой проблемы.

367

По этому поводу можно заметить следующее.

1.Диагонализируещее преобразование можно и не искать в форме (4.247). На примере модели Фридерихса мы показали, как можно найти диагонализируещее преобразование, не обращаясь к формуле (4.247).

2.Обычно бывает нужна не формула для диагонализируещего преобразования, а знание его свойств. Эти свойства часто проще получить другими методами, не основанными на формулах для диагонализируещего преобразования.

Рассмотрим некоторые примеры. Пусть

H = L2(R1 ; dx) ; Dom(A) = H2(R1) ; A = d2 : dx2

(Производная здесь понимается в обобщенном смысле см. стр. 453.) Имеем:

Из приведенной выкладки следует, что преобразование

U : L2(R1 ; dx) 7!L2((0 ; 1) 7!R2);

диагонализует оператор dxd22 в пространстве L2(R1 ; dx). Аналогичная выкладка показывает, что преобразование

U: L2(Rd ; dx) 7!L2((0 ; 1) 7!L2(S!p; d!));

Uf( ; !) = (2 ) d=22 1=2 (d=2 1)=2fb(! );

ãäå S! -единичная сфера в Rd со стандартной мерой d!(в трехмерном случае d! = sin d d ), диагонализует оператор в пространстве L2(Rd ; dx).

368