FA Арсеньев Функ.Ан

2. Операторная функция 7!E( ; A) неубывает:

( 2 1) ) (E( 2 ; A) E( 1 ; A))

и в каждой точке функция 7!E( ; A) непрерывна справа в том смысле, что

8( 2 H ; 2 R1) : lim k(E( + ; A) E( ; A)) k = 0:

!+0

3.Справедливо равенство

8( 1 2 R1 ; 2 2 R1) : E( 1 ; A)E( 2 ; A) = E(min( 1 ; 2) ; A): (4.129)

4.Åñëè

\

( 1 ; 2] ( 3 ; 4] = ;

òî

(E( 2 ; A) E( 1 ; A)) (E( 4 ; A) E( 3 ; A)) = 0:

5. Если функция f непрерывна справа на отрезке [a ; b], то справедливо равенство

Z b

8( 2 H) : < ; f(A) >= f( )d < ; E( ; A) >; (4.130)

a

где для непрерывной функции f интеграл можно понимать как интеграл Римана-Стильтьеса по неубывающей функции

!< ; E( ; A) > :

Âобщем случае интеграл в (4.130) понимается как интеграл ЛебегаСтильтьеса.

6.Åñëè

319

Доказательство. Утверждение 1 следует из того, что характеристи- ческая функция удовлетворяет равенству

8(x 2 [a ; b]) : I([a ; ]) j x)2 = I([a ; ]) j x)

и того факта, что отображение OpbA есть алгебраический гомоморфизм. Докажем утверждение 2. Так как

\

8( 2 [a ; b] ; n ! 0) : [a ; ] = [a ; + n];

n

òî

8( ; 2 [a ; b]) : I([a ; + 0] j ) = I([a ; ] j ):

В силу теоремы 4.5.1 отсюда следует, что

8( ; 2 H) : < ; E( + 0 ; A) >=< ; E( ; A) > :

Íî

8( 2 H) : k(E( ; A) E( + ; A)) k2 =

< ; (E( ; A) E( + ; A)) >! 0 ; ! 0:

Утверждение 3 следует из того, что характеристическая функция удовлетворяет равенству

I([a ; 1]) j x) I([a ; 2]) j x) = I([a ; min( 1 ; 2)]) j x):

Утверждение 4 следует из утверждения 3. Утверждение 5 следует из теоремы 1.2.3 (см. стр. 55).

Докажем утверждение 6. Справедливо равенство

a x b

320

Переходя на основе теоремы Лебега к пределу в (4.133), мы получаем равенство (4.132).

Теорема доказана.

Заметим, что из утверждения 6 следует, что спектральная функция E( ; A) однозначно определяется оператором A и что резольвентное

множество есть множество меры ноль относительно меры ( j dx).

Функция

7!< ; E( ; A)g >

может принимать комплексные значения и при принятом нами определении интеграла Римана-Стильтьеса мы не можем взять ее как интегрирующую функцию. Мы примем следующее

Определение 4.5.4. Положим

Z

где стоящая в правой части билинейная форма задана равенством (4.120).

Åñëè = , то интеграл (4.134) можно понимать как интеграл Лебега-

Стильтьеса.

Непосредственно из определения (см. определение 4.5.2 на стр. 316) следуют равенства

Z

d < ; E( ; A) >=< ; > :

При фиксированны f и функционал

Z

7! f( )d < ; E( ; A) >

сопряженно-линеен и непрерывен, поэтому на основе теоремы Рисса

Z

9(g 2 H) ; 8( 2 H) : < ; g >= f( )d < ; E( ; A) > : (4.135)

321

Если выполнено равенство (4.135), то мы положим по определению

Рассмотрим примеры.

1. Пусть A -компактный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H. Из (4.40) следует, что

j

Если пространство H åñòü L2(D ; dx), то спектральная фукция есть интегральный оператор с ядром

X

(x ; y ; ) = ej(x)ej(y):

j

2. Пусть оператор A -оператор умножения на независимую переменную x в гильбертовом пространстве L2([0 ; 1] ; dx):

A (x) = x (x):

Тогда полином от оператора A -это оператор умножения на полином от независимой переменной x, и спектральная функция оператора A -это оператор умножения на характеристическую функцию отрезка [a ; ]:

E( ; A) (x) = I([a ; ]) j x) (x):

3. Следующий пример называется моделью Фридерихса и часто исползуется при рассмотрении задач квантовой механики. Мы рассмотрим этот пример в упрощенной формулировке и выделим его в отдельный параграф.

Модель Фридерихса. В пространстве L2([0 ; 1] ; dx) рассмотрим оператор

Z 1

B : B (x) = x (x) + (x) (x)dx (x) ; 2 C01([0 ; 1]): (4.139)

0

Обратим внимание на то, что мы предполагаем функцию (x) действительной, гладкой и равной нулю в окрестности точек x = 0 ; x = 1.

322

Воспользуемся изложенной в лемме 3.10.3 (см. стр. 246) конструкцией. В нашем случае

a = A ; A (x) = x (x) ; b = B ; (b a) (x) = < ; > (x):

Сначала будем предполагать, что Im 6= 0. Так как операторы A è

рассматриваемом случае область значений оператора (b a) одномерна и натянута на вектор (x), область значений оператора T ( ; A ; B) также будет натянута на вектор(x). Следовательно,

Подставив это выражение в уравнение (3.114), мы получим уравнение для определения c( ; ):

Если выполнены наши предположения о функции (x), то функция g( ) аналитична в области 62[0 ; 1], стремится к нулю при ! 1 и при2 (0 ; 1) существует предел

Очевидно, что это неравенство будет выполнено и в некоторой окрестности действительной оси. Если выполнено условие (4.143), то

и левая часть (4.144) аналитична в окрестности интервала (0 ; 1).

Из (4.140) следует, что в нашем случае оперделенный в лемме 3.10.3 оператор Q вычисляется по формуле

Q( ; A ; B) (x) =

Z 1

(x) + (1 g( )) 1 ( x) 1 (x) (x)dx (x) ; 62[0 ; 1]:

0

(4.145)

323

Из равенства (3.113) (см. 191 ) следует, что

Так как правая часть равенства (4.146) аналитична при 62[0 ; 1], то спектр оператора B лежит на отрезке [0 ; 1] : (B) [0 ; 1]. Заметим, что если 2 C01([0 ; 1]), то существуют пределы Q( i0 ; A ; B ; ) ; 2

(0 ; 1).

Справедливо равенство

< ; (R( i ; B) R( + i ; B)) >= 2i < ; R( i ; B)R( + i ; B) >= 2i < R( + i ; B) ; R( + i ; B) >=

2i < R( + i ; A)Q( + i ; A ; B) ; R( + i ; A)Q( + i ; A ; B) > :

Поэтому

8( 2 C01([0 ; 1]) ; 2 (0 ; 1)) : < ; E( ; B) >=

Таким образом, в рассматриваемой нами модели спектральная функция задается квадратичной формой

324

Из (4.149) следует равенство

Z 1 Z 1

8( 2 C01([0 ; 1])) : j (x)j2dx = jZ+( )( )j2d : (4.151)

00

Следовательно, первоначально определенное на C01([0 ; 1]) преобразование

расширяется до унитарного преобразования пространства L2([0 ; 1]) в себя. Это преобразование диагонализует оператор B, а обратное преобразование дается формулой

следним и приравниваем множитель перед (x) в левой и правой части равенства (4.154).

Приведем вывод формулы для R( ; B), который не использует формализм T -матрицы.

Из второго резольвентного уравнения имем:

8( 2 L2([0 ; 1])) : R( ; B) R( ; A) = R( ; A)(B A)R( ; B) ;

(B A)R( ; B) = < ; R( ; B) > ;

< ; R( ; B) > < ; R( ; A) >= < ; R( ; B) >< ; R( ; A) >;

< ; R( ; B) >= (1 < ; R( ; A) >) 1 < ; R( ; A) >;

(4.155)

R( ; B) = R( ; A) + (1 < ; R( ; A) >) 1 < ; R( ; A) > :

Формула (4.155) при = aназывается фомулой Крейна-Ароншайна.

К модели Фридерихса сводятся многие задачи квантовой механики. В качестве примера рассмотрим простейший случай модели сильной связи. В этой модели гильбертово пространство состояний есть пространство последовательностей

<j<

325

Операторы A è B задаются формулами

Af(j) = 2f(j) f(j + 1) f(j 1) ; V f(j) = j0f(0) ; B = A + V:

Преобразование

X

U : l2 7!L2([0 ; 1]) ; U(f)(x) = f(j) exp(2 ij)

j

унитарно и образ оператора A при этом преобразовании есть оператор умножения на функцию:

U(Af)(x) = 2(1 cos(2 x))U(f)(x);

а образ оператора V есть интегральный оператор с вырожденным ядром:

Z 1

U(V f)(x) = U(f)(x)dx:

0

Ясно, что заменой переменной x задача о вычислении спектральной функции оператора B сводится к предыдущей задаче.

4.6Спектральное разложение унитарных операторов.

Очевидна

Лемма 4.6.1. Оператор U 2 L(H 7!H) -унитарный оператор, если

U U = UU = id:

Пример унитарного оператора в пространстве L2([0 ; 1]) - оператор умножения на функцию exp(i!(x)), ãäå !(x) -действительная измеримая

функция. Ниже мы увидим, что в некотором смысле все унитарные операторы похожи на этот оператор. Основной результат этого параграфа -теорема 4.6.2. Доказательству теоремы мы предпошлем несколько лемм. Обратим внимание на то, что наши построения во многом аналогичны предыдущим.

Ниже символом C([0 ; 2 ]) мы будем обозначать множество всех непрерывных на отрезке [0 ; 2 ] периодических функций:

8(f 2 C([0 ; 2 ])) : f(0) = f(2 ):

326

Пусть A -множество функций вида

f(exp(i )) 2 A : f(exp(i )) =

X

( k exp(ik ) + k exp( ik )) ; k ; k 2 C1:

0 k m

Множество функций A есть подалгебра алгебры C([0 ; 2 ]) относительно

операций поточечного сложения и умножения функций. Заметим, что алгебра A замкнута относительно операции комплексного сорпряжения:

(f 2 A) ) (f 2 A):

Алгебра A содержит подалгебру fPmg тригонометрических полиномов:

X

Pm(exp(i )) = a0=2 + (ak cos(k ) + bk sin(k )) ; ak ; bk 2 R1:

1 k m

Следующая лемма называется леммой Фейера.

Лемма 4.6.2. Если тригонометрический полином неотрицателен:

Доказательство. Пусть функция F (z) ; z 2 C1 определена из условия:

F (z) = Pm(exp(i )) ; z = exp(i ) ; 0 2 :

Функция F (z) пердставима в виде

8(0 < jzj < 1) : F (z) = z mp2m(z);

ãäå p2m(z) -алгебраический полином степени 2m. Функция

Fe(z) = F ((1=z) )

аналитична в области 0 < jzj < 1.

Так как тригонометрический полином принимает действительные зна- чения на единичном круге, то справедливо равенство

327

Отсюда следует, что

F (z) Fe(z):

Следовательно, если точка

z = aj

есть ноль полинома p2m(z), то точка

z = (1=aj)

также ноль полинома p2m(z). Если неравенство в (4.154) строгое, то от-

сюда следует что нули полинома p2m(z) не лежат на окружности jzj = 1

è

Ясно, что константа ec дожна быть неотрицательной. Представление (4.159)

доказывает лемму в случае строго неравенства в (4.154). Общий случай получается очевидным предельным переходом.

Фиксируем унитарный оператор U. По унитарному оператору U ïî-

строим отображение

OpU : A 7! (LH 7!H)

согласно формуле

Лемма 4.6.3. Отображение OpU есть гомоморфизм алгебры A в алгебру L(H 7!H), который удовлетворяет условию:

где f -функция, комплексно сопряженная функции f, OpU (f) -оператор, гильбертово сопряженный оператору OpU (f).

Доказательство. Утверждение о том, что отображение OpU åñòü ãî- моморфизм означает, что

OpU ( f1 + f2) = OpU (f1) + OpU (f2);

OpU (f1 f2) = OpU (f1) OpU (f2)

и проверяется прямым вычислением. Формула (4.161) есть следствие ра-

венства

U 1 = U :

328