FA Арсеньев Функ.Ан

Теорема 4.4.7. Характеристические числа компактного оператора A удовлетворяют условиям:

Если B -компактный оператор, то

Доказательство. Первое утверждение теормы следует из теоремы Д.Э.Аллахвердиева и обобщенного неравенства треугольника (см. формулу (2.11) на стр. 101)

Второе утверждение также следует из теоремы Д.Э.Аллахвердиева, так как

8j : dist(A ; Mj) = dist(A ; Mj);

что следует из равенства

kA Kk = kA K k:

Третье утверждение очевидно.

Для доказательства четвертого утверждения заметим, что

8(f 2 H) : < f ; (BA) BAf > kBk2kAfk2 kBk2 < f ; A Af >

Следовательно,

8(f 2 H) : < f ; (kBk2A A (BA) BA)f > 0;

и поэтому

Из этого неравенства и следствия 4.4.1 (см. стр. 293) вытекает неравенство

kBk2sj(A)2 sj(BA)2:

Далее заметим, что

sj(AB) = sj(B A ) kB ksj(A ) = kBksj(A):

Теорема доказана.

299

4.4.3Операторы Гильберта-Шмидта.

Пусть H сепарабельное гильбертово пространство.

Определение 4.4.3. Оператор A 2 L(H 7!H) называется оператором

Гильберта-Шмидта, если для каких-нибудь двух полных ортонормированных систем в пространстве H : fej ; 1 j < 1g ; fgj ; 1 j < 1g сходится ряд

X

kA j HSk2 := j < ej ; Agj > j2: (4.77)

1 i<1

1 j<1

Ниже мы докажем, что определенная равенством (4.77) функция

Åñëè ðÿä (4.77) сходится для каких-нибудь двух полных ортонормированных систем, то он сходится для любых полных ортонормированных систем и его сумма не зависит от выбора этих систем.

Доказательство. Пусть fe0j j 1 j < 1g -произвольная полная ортонормированная система в пространстве H. В силу равенства Парсеваля справедливы равенства

XX X

Из первых двух равенств следует независимость суммы (4.77) от выбора ортонормированных систем, из третьего равенства следует, что если ряд (4.77) сходится для каких-нибудь двух полных ортонормированных систем, то он сходится для любых полных ортонормированных систем.

300

Теорема 4.4.9. Если оператор A есть оператор Гильберта-Шмидта, то он компактен и справедливо равенство

j<

ãäå sj(A) -характеристические числа оператора A.

Доказательство. Пусть оператор A есть оператор Гильберта-Шмидта,

fej ; 1 j < 1g -полная ортонормированная система. Определим оператор

Из (4.83) и (4.80)следует, что если оператор A есть оператор Гильберта-

Шмидта, то

kA PnAk ! 0 ; n ! 1:

и оператор A компактен как предел по норме компактных конечномер-

ных операторов.

Для доказательства равенства (4.82) достаточно в (4.81) взять ортонормированную систему fgj ; 1 j < 1g так, чтобы она включала в себя ортонормированную систему собственных функций оператора jAj.

Множество операторов Гильберта-Шмидта есть линейное подпространство в L(H 7!H) и функция (4.78) задает на этом

подпространстве норму.

Доказательство. Включение

8(A 2 HS ; z 2 C1) : zA 2 HS

и однородность функции (4.78) очевидны.

Пусть A 2 HS ; B 2 HS è fej ; 1 j < 1g -полная ортонормированная система в пространстве H. Тогда

XX

301

Мы доказали, что множество операторов Гильберта-Шмидта есть линейное пространство и функция (4.78) удвлетворяет неравенству треугольника. Выполнение остальных аксиом нормы очевидно. Теорема доказана.

Теорема 4.4.11. Норма (4.78) удовлетворяет следующим условиям.

Доказательство. Из равенства (4.79) следует: kAg1k kA j HSk

Так как в качестве вектора g1 может быть взят любой ортонормирован-

ный вектор, то из этого неравенства вытекает (4.84). Равенство (4.85) следует из сравнения равенств (4.79) и (4.80).

Для доказательства неравенств (4.85) заметим, что если fej ; 1 j < 1g -полная ортонормированная система в пространстве H, òî

è

kAB j HSk = kB A j HSk kBk kA j HSk:

Теорема доказана.

Теорема 4.4.12. 1. Пространство HS есть полное нормированное про-

странство относительно нормы (4.78).

2. На пространстве HS корректно определена билинейная форма

j<

которая не зависит от выбора полной ортонормированной системы fej ; 1 j < 1g è ðÿä â (4.87) сходится абсолютно.

3. Билинейная форма (4.87) задает на пространстве HS скалярное

произведение, которое порождает норму (4.78) и относительно скалярного произведения (4.87) пространство HS есть гильбертово про-

странство.

302

Доказательство. Если последовательность fAng HS фундаментальна по норме пространства HS, то в силу неравенства (4.84) она фундаментальна в L(H 7!H) и поэтому

Переходя к пределу n ! 1 в неравенстве

мы получаем, что определенный равенством (4.88) оператор A 2 HS. Полнота пространства HS доказана.

Абсолютная сходимость ряда (4.87) следует из оценки

j < Aej ; Bej > j kAejk2 + kBelk2:

Равенство

kA j HSk2 = HS(A ; A)

следует из (4.79). Теорема доказана.

Теорема 4.4.13. Если A 2 HS, то существует такое унитарное отоб-

ражение

U : H 7!L2(D ; (dx));

что оператор Ae, который делает коммутативной диаграмму

D

с квадратично интегрируемым ядром

ZZ

ja(x ; y)j2 (dx) (dy) < 1;

D D

303

которое вычисляется по формуле

D D

Доказательство. Пусть H -произвольное гильбертово пространство и

fgj ; 1 j < 1g -полная ортонормированная система в пространстве H. Пусть D Rd è fej(x) ; 1 j < 1g -полная ортнормированная система в пространстве L2(D ; (dx)). Мы будем считать, что функции

ej(x) действительны:

ej(x) = ej(x) :

Определим унитарное отображение

U : H 7!L2(D ; (dx));

равенством

Ugj = ej

Далее вычисляем, двигаясь по верхней и правой стрелке вниз на диаграмме (4.89). Имеем:

304

Нам предстоит обосновать перемену порядка интегрирования и суммирования в (4.93). Мы сделаем это с помощью приема, который часто ока-

зывается полезен в аналогичных случаях. Заметим, что так как A 2 HS,

то ряд в (4.91) сходится в метрике пространства L2(D D ; (dx) (dy)), поэтому

D D

(4.94) Воспользовавшись теоремой Фубини 1.2.6 (см. стр. 70) запишем интеграл в (4.94) как повторный:

ZZ

(a(x ; y)Uf(y)) U (x) (dx) (dy) =

D D

ZZ

@(a(x ; y)Uf(y) (dy)A U (x) (dx)

DD

Заданный правой частью равенства (4.95) функционал

ZZ

U (x) 7! @ (a(x ; y)Uf(y) (dy)A U (x) (dx) (4.95)

DD

линеен и непрерывен. Следовательно, существует такой вектор b(x) 2

L2(D ; (dx)), ÷òî

ZZ

8( 2 H) : < b ; U >= @ ((a(x ; y)Uf(y) (dy)A U (x) (dx)

DD

(4.96) По определению, интеграл в правой части равенства (4.90) мы будем счи-

тать равным этом вектору b(x) (это есть частный случай так называемого

интеграла Петтиса: интеграл понимается как задаваемый подинтегральным выражением линейный непрерывный фукционал). Равенство (4.92) следует из равенства Пасеваля. Теорема доказана.

4.4.4Ядерные операторы.

Определение 4.4.4. Компактный оператор A 2 L(H 7!H) называется ядерным, если сходится ряд из его характеристических чисел:

j<

305

Позже мы докажем, что правая часть (4.97) удовлетворяет условиям нормы. Определенная равенством (4.97) норма называется ядерной (или следовой) нормой.

Множество всех ядерных операторов мы обозначим символом Ncl.

Лемма 4.4.2. Оператор A ядерный в том и только том случае, если

для какой-либо полной ортонормированной системы fej j 1 j < 1g сходится ряд

X

1 j<1

Åñëè ðÿä (4.98) сходится для какой-либо полной ортонормированной системы, то он сходится для любой полной ортонормированной системы,

его сумма не зависит от выбора полной ортонормированной системы, оператор jAj1=2 есть оператор Гильберта-Шмидта и выполнено равен-

ñòâî

Доказательство. Справедливо равенство

XX

< ej ; jAjej >= < jAj1=2ej ; jAj1=2ej >= kjAj1=2 j HSk2:

Отсюда следует независимость суммы ряда (4.177) от выбора полной ортонормированной системы. Для доказательства равенства (4.99) достаточно выбрать полную ортонормированную систему так, чтобы она

включала в себя систему собственных функций оператора jAj.

Замечание 4.4.2. Мы видим, что из сходимости ряда (4.98) следует, что оператор A есть оператор Гильберта-Шмидта и поэтому компактный оператор. Отметим, что

Ncl HS:

Теорема 4.4.14. Оператор A ядерный в том и только том случае, если он есть произведение двух операторов Гильберта-Шмидта.

Доказательство. Пусть оператор A ядерный. Используя полярное разложение оператора A (см. (4.49), стр. 294), мы получаем:

A = UjAj = UjAj1=2 jAj1=2;

где операторы UjAj1=2 è jAj1=2 есть операторы Гильберта-Шмидта. Пусть A 2 HS ; B 2 HS. Докажем, что AB 2 Ncl. Пусть fej ; 1 j <

1g -полная ортонормированная система в пространстве H. Из формулы

(4.57) следует, что

jABj = UAB1 PABAB;

306

ãäå UAB - унитарный оператор, входящий в полярное разложение оператора AB. Поэтому

< ej ; jABjej >=< ej ; U 1PABABej >=< A (U 1PAB) ej ; Bej > :

Вспоминая определение билинейной формы HS (см. (4.87), стр. 302), мы видим, что

X

1 j<1

Теорема доказана.

Теорема 4.4.15. Множество ядерных операторов Ncl есть линейное подпространство в L(H 7!H) и определенная равенством

ция A 7!Ak j Nclk удовлетворяет условиям нормы:

8(A ; B 2 Ncl) : kzA j Nclk = jzjkA j Nclk;

kA + B j Nclk kA j Nclk + kB j Nclk:

Относительно нормы (4.97) пространство ядерных операторов есть банахово пространство.

Доказательство. Однородность определенной правой частью равенства (4.97) функции очевидна. Докажем, что

(A 2 Ncl ; B 2 Ncl) ) ((A + B) 2 Ncl):

Пусть fej ; 1 j < 1g -полная ортонормированная система в пространстве H. Из формулы (4.57) следует, что

jA + Bj = U(A1+B)P(A+B)(A + B);

поэтому

Далее имеем:

<ej ; U(A1+B)P(A+B)Aej >=< ej ; U(A1+B)P(A+B)UAjAj1=2jAj1=2ej >=

<(U(A1+B)P(A+B)UAjAj1=2) ej ; jAj1=2ej >;

307

следовательно,

kjAj1=2 j HSk2 = kA j Nclk:

Аналогично оценивается второе слагаемое в (4.101). Из (4.99) следует, что

kA + B j Nclk kA j Nclk + kB j Nclk:

Полнота пространства ядерных операторов относительно ядерной нормы доказывается дословным повторением доказательства полноты пространства операторов Гильберта-Шмидта. Теорема доказана.

Теорема 4.4.16. На пространстве ядерных операторов корректно определен функционал

j<

Правая часть (4.102) не зависит от выбора полной ортонормированной системы fej ; 1 j < 1g и оперделенный равенством (4.102) функционал удовлетворяет условиям:

Доказательство. Используя полярное разложение оператора A, мы получаем:

XX

X

< (UjAj1=2) ej ; jAj1=2ej >= HS((UjAj1=2) ; jAj1=2):

1 j<1

Отсюда следует абсолютная сходимость ряда (4.102) и независимость его суммы от выбора ортонормированной системы.

308