2.12. Квантовые алгоритмы Монте-Карло. Проблема

Проблема знака

В общем случае для вычисления статистической суммы и среднего от оператора физической величины необходимо суммировать отношение двух знакопеременных рядов; при уменьшении температуры статистические ошибки получаемых при расчете величин сильно возрастают, а при некоторой низкой температуре вычисления становятся невозможны

Одним из источников проблемы знака является положительный знак матричных элементов возмущения

Проблема знака возникает также из- за антисимметрии фермионной волновой функции

2

Особенности статистики Бозе

Основное отличие – отсутствие запрета на

узельные числа заполнения

Траектории частиц могут пересекаться и

накладываться друг на друга,

образуя многократное

заполнение узлов

В выражениях для вероятностей переходов отсутствует проблема знака, что связано с симметрией

бозонной волновой функции

3

Особенности при расчете спиновых систем

Для расчета спиновых систем удобно перейти к неотрицательным числам заполнения – к фиктивным бозонам

XXZ-модель Гейзенберга с анизотропным по одному из направлений взаимодействием:

Проблема знака для спиновых моделей Гейзенберга связана со знаком обменного интеграла при поперечной компоненте взаимодействия. Однако фундаментальные свойства основного состояния определяет параллельная компонента взаимодействия, матричные элементы которой диагональны

4

Связь фермионного знака

иwinding numbers

В случае системы фермионов статистический вес любой

системы траекторий, помимо знака, связанного со знаком

матричных элементов возмущения, имеет дополнительный

знак, возникающий из-за антисимметрии волновой функции

фермионов относительно перестановок частиц

Антисимметрия волновых функций и тождественность частиц в ферми-системах являются причиной стандартного антикоммутационного соотношения в представлении вторичного квантования:

При сквозной нумерации узлов в системе это приводит к

известному выражению для матричных элементов операторов рождения и уничтожения:

6

Связь фермионного знака и winding numbers

Далее:

Статистический вес:

Фермионный знак совершенно не зависит от нумерации узлов и отражает исключительно топологию системы мировых линий

Полученные результаты будут справедливы и для

квантовых методов МК в непрерывном времени

7

Связь фермионного знака

иwinding numbers

Конфигурации без разрывов:

Число самопересечений

8

Связь фермионного знака

иwinding numbers

Фермионный знак статистического веса системы без

разрывов траекторий:

Для одномерной периодической системы всегда

реализуется W=1, поэтому в этом случае нет фермионной проблемы знака

Конфигурации

9

Связь фермионного знака

иwinding numbers

Конфигурации с несколькими разрывами:

Фермионный знак конфигурации:

10