2.2. Термодинамика классических, ферми- и
бозе-систем
Термодинамика больцмановского газа. Термодинамика идеального ферми-газа. Термодинамика идеального бозе-газа
Разреженный газ
Идеальный разреженный газ:
Матрица плотности:
Свободная энергия:
Распределение Больцмана:
Ферми-статистика – принцип Паули
Распределение Ферми – Дирака:
2
Разреженный газ
Бозе-статистика: нет запрета на количество частиц в
одном состоянии:
Для бозе-газа область физических решений
соответствует μ<0
Свободная энергия:
Распределение Бозе – Эйнштейна:
Задача нахождения термодинамических средних для
идеального газа с ферми- или бозе-статистикой при
конечной температуре и заданном значении химического
3потенциала:
Плотность состояний
Рассмотрим макроскопическую систему, в которой число
одночастичных квантовых состояний настолько велико, что множество разрешенных импульсов можно считать
непрерывным набором квантовых состояний
Плотность одночастичных состояний:
0.8
0.7
Трехмерный свободный газ с |
|
0.6 |
квадратичным законом дисперсии: |
|
0.5 |
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
0.3 |
|
|
0.2 |
Одномерный идеальный газ: |
|
0.1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 |
4
Термодинамика идеального ферми-газа
Энергия Ферми:
Электронный газ при нулевой температуре называется
вырожденным
5
Термодинамика идеального ферми-газа
Свободный ферми-газ является неплохим приближением
для простых металлов
Уравнение состояния ферми-газа при нулевой
температуре:
Даже при нулевой температуре существует конечное
давление идеального ферми-газа, связанное с его
квантовым вырождением и конечной плотностью
Система уравнений для численного анализа ферми-газа:
6
Термодинамика идеального ферми-газа
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
3.5 |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-20.2 |
0.4 |
0.6 |
0.8 |
1 |
1.2 |
1.4 |
1.6 |
1.8 |
2 |
|
0.5 |
0 |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5 |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0.5 |
T |
|
1.5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Термодинамика идеального ферми-газа
Предельные случаи
Низкие температуры:
Высокие температуры: статистика газа становится больцмановской, и зависимости энергии и теплоемкости
электронного газа выходят на классический предел
8
Термодинамика идеального бозе-газа
Температура бозе-конденсации:
Количество частиц, находящихся в основном состоянии:
Задача делится на две температурные области – выше и ниже температуры конденсации
Для низких температур:
9
Термодинамика идеального бозе-газа
Для высоких температур:
λ-точка:
Классический предел:
10
|
|
|
Термодинамика идеального |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
бозе-газа |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
4.5 |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 |
3 |
|
|
|
0 |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 |
3 |
||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|