2.10. Диаграммные методы и высокотемпературное разложение
Высокотемпературное разложение. Диаграммы. Алгоритм червя.
Расчет физических величин
Высокотемпературное
разложение
Существуют схемы МК, использующие суммирование диаграмм для эффективного перебора конфигурационного пространства
Модель Изинга:
Разложение экспоненты в статистической сумме:
Это разложение называется высокотемпературным: чем выше температура, тем лучше сходимость ряда
Высокотемпературное разложение может быть использовано для большого количества классических дискретных моделей
2
Коррелированные пары
Для нулевого внешнего поля
Вклад в статистическую сумму от каждого узла:
Суммирование по всевозможным коррелированным парам:
3
Диаграммы
Каждому слагаемому на пространственной решетке спинов
можно поставить в соответствие диаграмму, заключающую
в себе траекторию, соединяющую атомы в соответствии с разрешенными связями
Каждая траектория характеризуется как состоянием узлов, входящих в нее, так и состояниями связей, из которых она
состоит:
|
дится по всем возможным замкнутым |
|
коррелированных пар |
4
Спин-спиновая корреляционная функция
Спин-спиновая корреляционная функция для модели
Изинга:
Конфигурации, дающие вклад в g, отличаются от конфигураций, дающих вклад в статистическую сумму,
тем, что теперь существуют два выделенных узла с нечетным числом связей
Эти узлы являются единственными точками, в которых
траектория может быть разорвана
По определению,
5
Алгоритм червя
Конфигурации, дающие вклад в спин-спиновую
корреляционную функцию, формируются за счет
перемещения точек разрыва траектории
Если начало и конец разорванной траектории совпадают,
то червь замыкается, и возникает конфигурация, дающая вклад в статистическую сумму
Вклада в рассчитываемые физические величины
разорванные
6
Алгоритм червя
Подпроцессы, реализующие перебор конфигураций
Движение левого или правого концов червя на
соседний узел:
Передвижение концов червя в новое произвольное
место, если червь замкнут
Рождение и уничтожение связи:
Расчет физических величин осуществляется
только в том случае, когда червь замкнут
7
Учет внешнего поля
Вклад в статистическую сумму от каждого узла:
Ненулевой вклад в статистическую сумму дают такие конфигурации, у которых суммарное число связей и звездочек четное
Необходимы еще два подпроцесса: рождение и уничтожение пар звездочек одном узле и рождение и уничтожение комбинации из двух звездочек и связи между ними на соседних узлах
Вероятность рождения пары звездочек на узле:
8
Расчет физических величин
При взаимодействии только с внешним полем:
С учетом внешнего поля и обменного взаимодействия:
9
Расчет физических величин
Сходимость величин, рассчитываемых при помощи алгоритма червя, основанного на высокотемпературном разложении, практически не изменяется при приближении температуры к критической точке
Энергия одномерной периодической цепочки Изинга из 100 узлов в сравнении с точным аналитическим решением. Внешнее поле H=0.2 (точки); H=0.4 (треугольники)
|
0 |
|
|
|
|
- 4 |
0 |
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
- 8 |
0 |
|
|
|
|
- 1 2 0 |
|
|
|
|
|
- 1 6 0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
8 |
1 2 |
1 6 |
|
|
|
T |
|
|
10