2.11. Квантовые алгоритмы Монте-Карло
Checkerboard algorithm для модели Хаббарда. Расчет физических величин. Расчет функции Грина
Основная идея дискретных алгоритмов
Основная идея – преобразование квантовой d-мерной задачи к (d+1)-мерной классической путем введения «временных» разрезов в пространстве мнимого времени 0<τ<β=1/T
Разбиение Сузуки – Троттера:
верно с точностью (Δτ)2. Δτ= β/M, M 1
Статистическая сумма представляется в виде произведения операторов эволюции
Разбиение Сузуки – Троттера позволяет представить квантовую задачу как некоторую классическую, эволюционирующую по шкале мнимого времени как по дополнительной классической переменной
2
Разбиение Сузуки – Троттера для модели Хаббарда
Модель Хаббарда:
Разбиение для статистической суммы:
Разобьем гамильтониан на два типа связей (например, четные и нечетные):
Если – полный набор состояний, относящийся к временному срезу , то
3
Разбиение Сузуки – Троттера для модели Хаббарда
Выберем состояния в представлении чисел
заполнения. Тогда в этом полном наборе состояний оператор будет диагонален, и поэтому надо
определить лишь матричные элементы оператора
кинетической энергии, которые оказываются произведением множителей простого вида:
Фактически для модели Хаббарда задача сводится к
расчету матричных элементов двухузельной задачи, которые рассчитываются аналитически:
4
Представление шахматной доски
По горизонтальной оси отложены номера узлов, по вертикальной – мнимое время
Линии обозначают траектории частиц в фазовом пространстве
Из-за принципа Паули фазовые траектории для фермионов не могут пересекаться
По оси мнимого времени рисунок замкнут, так как в выражении для статсуммы первая и последняя обкладки матричных элементов совпадают, по пространственной переменной замкнутость картины диктуется граничными условиями
Заштрихованные клетки обозначают действие операторов H1 или H2, в пустых областях
операторы не действуют
5
Учет спина частиц
Два варианта учета спина частиц: две шахматные доски или два сорта траекторий на одной доске
На каждом узле теперь может быть четыре состояния: 
6
Алгоритм Монте-Карло
Необходимо перебрать все возможные состояния
системы, т.е. все возможные диаграммы
Перебор конфигураций происходит за счет их
преобразования – из одной конфигурации
получается некоторая другая, отличающаяся от
исходной определенным образом
Перебираются не все возможные конфигурации, а
преимущественно те, которые дают основной вклад
в статсумму
В простейшем варианте траекторного алгоритма МК
для преобразования системы тся
7
Алгоритм Монте-Карло
Все процедуры для обновления мгновенных
конфигураций разбиваются попарно на «прямые» и «обратные»
Каждая пара процедур удовлетворяет уравнению
детального баланса:
Схема Метрополиса:
8
Расчет средних.
Величины, сохраняющие число частиц
Схема Метрополиса:
Величины, локально сохраняющие число частиц:
Для оператора энергии:
9
Расчет средних.
Величины, не сохраняющие число частиц
Вводится дополнительный временной разрез, на котором допустимы разрывы траекторий
Необходимо реализовать независимые МК-процедуры для числителя и знаменателя
Вся полезная информация снимается только с одного временного разреза
10