2.1. Термодинамика
Матрица плотности. Микроканонический ансамбль. Канонический ансамбль. Большой канонический ансамбль. Модели сильной связи
Матрица плотности
Любое состояние системы можно разложить по базисным функциям полного ортонормированного базиса:
Среднее значение физической величины
Матрица плотности в энергетическом представлении или статистическая матрица:
Диагональные элементы матрицы плотности имеют смысл вероятности нахождения системы в соответствующем состоянии:
Статистическая матрица в собственно-энергетическом 2 представлении диагональна
Микроканонический
ансамбль
Рассмотрим какую-либо замкнутую систему и выберем в
качестве базисных функций собственные функции этой системы
Временная эволюция коэффициентов разложения:
Временная зависимость статистической матрицы:
В замкнутой системе диагональные элементы
статистической матрицы не зависят от времени:
Микроканоническое распределение по энергии:
3
Канонический ансамбль
Рассмотрим систему, которая является частью какой-
либо большей замкнутой системы – термостата, и находится с ней в термодинамическом равновесии
Статистический вес макроскопического состояния
системы ΔQ: 
Энтропия:
Второй закон термодинамики: в состоянии
термодинамического равновесия энтропия
имеет максимально возможное значение
Температура:
Каноническое распределение по энергии
4распределение Гиббса:
Большой канонический ансамбль
Между выделенной системой и термостатом, кроме выравнивания температур, происходит также обмен частицами
Химический потенциал – изменение энергии системы при изменении числа частиц на единицу:
Распределение Гиббса:
Многие важные физические величины выражаются через статсумму:
Теорема Нернста: при нулевой температуре энтропия равна 5 нулю
Совокупность магнитных моментов
Статистическая сумма системы:
Энергия системы:
Магнитный момент:
Энтропия:
Теплоемкость:
6
Совокупность магнитных моментов
E/N
M/N
C/N
7
0
-0.5
-1 0
1
0.5
0
0
0.4
0.2
0
0
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
T
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
T
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
T
Модели сильной связи
Невзаимодействующая ферми- или бозе-система:
В общем случае:
Для энергии и среднего числа частиц:
Расчет экспоненты от оператора:
8
Модели сильной связи
Бесспиновые фермионы на двух узлах:
Базис системы состоит из четырех функций:
Матрица статистического оператора:
Гамильтониан сохраняет число частиц, поэтому матрица
имеет блочно-диагональный вид
Задача в этом случае разбивается на три независимые
9задачи, каждая из которых может быть решена отдельно
|
Модели сильной связи |
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2 |
|
|
|
|
|
|
T=0.1 |
|
N |
1 |
|
|
|
|
|
|
T=0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
T=1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
|
|
T=2 |
|
|
0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
-6 |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
-8 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|