2.7.Метод Монте-Карло для решеточного газа
Модель решеточного газа. Алгоритм Монте-Карло.
Моделирование решеточного газа на двумерной решетке
Модель решеточного газа
Каждому узлу простой кубической или квадратной
решетки ставится в соответствие число заполнения 0 или
1, моделирующее нахождение или отсутствие частицы в данном узле
Полное число состояний в системе совпадает с числом состояний в модели Изинга
Рассматриваем газ взаимодействующих частиц
1.5
1
0.5 ij V
0 -0.5 -1
2 |
0.1 |
0.12 |
0.14 |
0.16 |
0.18 |
0.2 |
0.22 |
|
|
|
Rij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Модель решеточного газа на квадратной решетке
Точки соответствуют узлам решетки, занятым частицами
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Модель решеточного газа
Модельный гамильтониан, описывающий систему:
Химический потенциал отвечает переменному числу
частиц в системе и является функцией внешнего давления
Уравнение состояния:
Трикритическая точка:
Решеточная модель описывает
фазовый переход первого рода "жидкость – газ"
4
Алгоритм Монте-Карло
Гамильтониан диагонален в базисе чисел заполнения:
Необходимо реализовать принцип детального равновесия в
условиях большого канонического ансамбля
Для эффективного перебора состояний системы
достаточно ввести два типа подпроцессов: движение
частиц и рождение/уничтожение частиц
Соотношение детального баланса должно быть выполнено
для каждой пары прямой и обратной процедур внутри одного типа подпроцессов, независимо от других типов подпроцессов
Уравнение детального баланса для подпроцессов
движения со схемой Метрополиса:
5
Алгоритм Монте-Карло
Процедуры рождения и уничтожения частиц: разные вероятности обращения
Уравнение детального баланса:
Возможный выбор вероятностей перехода:
Множитель τ является произвольным и дает дополнительную
степень свободы, его выбор позволяет оптимизировать 6 обновление конфигураций
Схема алгоритма
7
Алгоритм Монте-Карло
Число шагов в алгоритме МК определяется
достижением необходимой сходимости
рассчитываемых величин
Для модели решеточного газа процедура МК
позволяет при любом виде межчастичного взаимодействия рассчитать фазовую диаграмму
"жидкость – газ", и, в частности, построить
изотермы
При заданной температуре и химическом потенциале рассчитывается среднее число частиц в системе, и, соответственно, плотность
Давление можно представить как функцию
химического потенциала:
8
газа на двумерной решетке
Моделирование решеточного газа на двумерной решетке 100х100; потенциал Леннарда – Джонса с параметрами ε=1, σ=3
При достаточно низкой температуре заметна область неоднозначности, в которой система может находиться как в жидкой плотной фазе, так и в менее плотной газообразной (T=1.3; 1.4)
|
1 . 0 3 3 6 |
|
|
|
|
a ) |
1 . 1 7 4 0 |
|
|
|
|
b ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
. 0 3 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. 1 7 3 0 |
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. 0 3 2 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. 1 7 2 0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
. 0 3 2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. 1 7 1 0 |
|
|
|
|
|
1 . 0 3 2 0 0 |
5 0 0 |
1 0 0 0 |
1 5 0 0 |
2 0 0 0 |
2 5 0 0 |
|
0 |
4 0 0 |
8 0 0 |
1 2 0 0 |
1 6 0 0 |
2 0 0 0 |
||
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
газа на двумерной решетке
При повышении температуры область неоднозначности заметно сжимается и затем при более высоких температурах исчезает, так что система все время остается в газообразной фазе (T=1.45; 1.55)
Значение температуры в трикритической точке можно оценить
|
|
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . 2 2 0 8 |
|
|
|
|
c ) |
1 . 3 8 9 5 |
|
|
|
|
|
d ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
. 2 2 0 7 |
|
|
|
|
|
1 |
. 3 8 9 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. 3 8 9 3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. 2 2 0 6 |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
1 |
. 3 8 9 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. 2 2 0 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. 3 8 9 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. 2 2 0 4 |
|
|
|
|
|
1 |
. 3 8 9 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10 |
1 . 2 2 0 3 0 |
4 0 0 |
8 0 0 |
1 2 0 0 |
1 6 0 0 |
2 0 0 0 |
1 . 3 8 8 9 0 |
2 0 0 |
4 0 0 |
6 0 0 |
8 0 0 |
1 0 0 0 |
1 2 0 0 |
||
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||