Поисковый метод минимизации мультимодальной функции одной переменной на основе двухзвенной схемы отбора интервалов первого порядка

Вряд ли можно создать численный метод, способный определять сколь угодно узкие локальные минимумы. Важно лишь, чтобы были параметры, способные увеличивать чувствительность метода к узким локальным минимумам. К сожалению, повышение чувствительности всегда достигается за счёт сгущения сетки точек и существенного увеличения объёмов вычислительной работы.

В данном параграфе рассматривается новый численный метод глобальной одномерной минимизации [20]. Он не требуют априорного знания константы Липшица или её приближённого вычисления. В нем предусмотрены параметры, позволяющие увеличивать их чувствительность к узким локальным минимумам, которая ограничивается только быстродействием компьютера.

Рассматривается следующая экстремальная задача. Функция определена и непрерывна на заданном. Предполагается, что нарасполагается конечное число отрезков , на которых функция является унимодальной и имеет локальный минимум. Глобальный минимумфункциинасовпадает с одним из локальных минимумов. Локальный минимумможет достигаться не в одной точке. Только в случае строгой унимодальности функции на точка локального минимума () будет единственной на этом отрезке. Локальный и глобальный минимуммогут достигаться и на концах. Точек глобального минимума () также может быть множество, но в любом случае одна из них будет совпадать с одной из точек локального минимума.

Ищется значение , а также приближенные значения локальных минимумов и глобального минимума с погрешностями, не превышающими заданного положительного числа. Ищутся также приближенные значения точек локального минимума и точки глобального минимума с погрешностями, не превышающими заданного положительного числа. Если наимеется множество точек локального минимума, то нам годится любая из них. То же относится и к точке глобального минимума [20].

При решении сформулированной экстремальной задачи отрезок разбивается на равные части. Далее используются простые и легко проверяемые условия, позволяющие выделить отрезки разбиения, на которых функция, предположительно, является унимодальной. Эти условия являются необходимыми (но, вообще говоря, не достаточными) для унимодальности непрерывной функции на выделяемых отрезках. Далее на каждом из выделенных отрезков применяется метод локальной минимизации, с помощью которого определяются приближения для локального минимума и точки локального минимума, вычисляется приближения для глобального минимума и точки глобального минимума.

После этого разбиение измельчается в несколько раз и описанная выше процедура повторяется. Если значения приближений глобального минимума, полученные на двух последних разбиениях, совпадают с заданной точностью, то процесс измельчениязавершается и последние результаты принимаются за окончательные. В противном случае описанный процесс измельченияи вычислений минимумов продолжается.

Начальное количество отрезков разбиения связывается с границей погрешности точек минимума, что позволяет использовать эту границу для регулирования чувствительности метода к тонким минимумам.

Описанный подход позволяет построить множество численных методов глобальной минимизации, которые отличаются схемами выделения отрезков предположительной унимодальности минимизируемой функции и используемыми методами локальной минимизации. Рассмотрим подробно один из таких методов.

Теперь рассмотрим сам поисковый метод минимизации мультимодальной функции одной переменной на основе двухзвенной схемы отбора интервалов первого порядка

Для минимизации функции на отрезках предположительной унимодальности будем использовать метод золотого сечения. Он обеспечивает вычисление с заданной точностью локального минимума и точки локального минимума на отрезке унимодальности функции.

Для решения сформулированной выше экстремальной задачи строится последовательность сгущающихся равномерных сеток на . Число отрезков разбиения очередной сетки. При каждом сгущении сетки

, . (5)

Таким образом, при каждом сгущении сетки число увеличивается в 3 раза. Узлы очередной сетки вычисляются по обычным формулам:

, , (6)

где - шаг разбиения. В этих узлах вычисляются значения функции. Эти значения используются для выбора отрезков, на которых функция, предположительно, является унимодальной. Проверяются подряд отрезки,,,, ...,,, (рис.1).

Рис. 1.

Будем считать, что на функцияпредположительно является унимодальной, если

. (6)

Считается, что на отрезках функцияпредположительно является унимодальной, если

( и ) или ( и ) или

( и ). (7)

Будем считать, что на функцияпредположительно является унимодальной, если

. (8)

Условия (6) и (8) получаются из необходимых для унимодальности функции на отрезкахиусловий:

,

.

Условия (7) получаются из необходимых для унимодальности функции на отрезкеусловий:

,

.

Здесь использованы полиномиальные формулы численного дифференцирования 1 порядка точности. В условиях (8) требуется, чтобы хотя бы одно из неравенств было строгим. Это необходимо, чтобы исключить отрезки на которых функция является постоянной. При формулировке условий (8) фигурируют два отрезка. Поэтому условия предположительной унимодальности функции (6) - (8) будем называть двухзвенными условиями первого порядка.

При нахождении очередного (-го) отрезка, на котором выполняются условия (6) или (7) или (8), на нём применяется модифицированный метод золотого сечения, с помощью которого определяются приближенное значение точки локального минимума функции и приближенное значениелокального минимума этой функции с погрешностями, не превышающимии, соответственно. Условия (6) - (8) позволяют выявить все окрестности внутренних точек локального минимума функциина отрезке, ширина которых не меньше, а также окрестности граничных точек локального минимума функции, ширина которых не меньше. С ростом значенияи уменьшением, условия (6) - (8) будут выявлять окрестности всё более и более узких локальных минимумов и при достаточно большом значении(маленьком значении) будут выявлены окрестности всех точек локального минимума функции, на которых функция является унимодальной. А далее методом золотого сечения получатся приближенные значения точек локального минимума и локальных минимумов с погрешностямии, соответственно. Параллельно вычисляются количество обнаруженных локальных минимумов, приближенные значения глобального минимумаи точка глобального минимума().

Точка совпадает с одной из приближенных точек локального минимума, асовпадает с одним из приближенных локальных минимумов. Поэтому, если, то погрешностиитакже не будут превышатьи, соответственно. В заключение заметим, что хранить значенияинет смысла [20].

Для завершения описания метода решения экстремальной задачи осталось сформулировать условия окончания итераций и условия выбора начального значения величины . Процесс сгущения сеток будем заканчивать, когда значение глобального минимума перестаёт уменьшаться при сгущении сетки (с учётом заданной точности его определения методом золотого сечения).

Чтобы сформулировать условия выбора начального значения заметим, что если

, (9)

то заданное условие в методе золотого сечения будет выполнено. Если при этом второе условие выполняется, то это значит, что функция имеет узкие минимумы, ширина которых меньше. В этом случае нужно уменьшить. Решая неравенство (2.9) относительнополучим следующее условие

, (10)

при выполнении которого следует выдать сообщение о необходимости уменьшения значения . Здесь- целая часть вещественного числа. Начальное значениебудем выбирать меньшим, чеми таким, чтобы после третьего сгущения сетки значениеещё не достигало, а после четвёртого сгущения значениестановилось больше:

. (11)

При таком выборе начального значения величина границы погрешностистановится параметром, влияющим на чувствительность метода к узким локальным минимумам. Для повышения чувствительности метода следует уменьшать[20].