9.2. Уравнение Бернулли
Уравнение Бернулли является основным уравнением, описывающим движение идеальной несжимаемой жидкости. С формальной точки зрения уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии для жидкости в трубке тока. Оно может быть использовано и для газа при условии, что его давление, а значит и объем, изменяются достаточно слабо, и можно пренебречь изменением плотности.
Выберем (см. рис. 9.4) в стационарно текущей жидкости трубку тока небольшого диаметра так, чтобы физические величины, используемые в дальнейшем, можно было бы считать постоянными. Предположим, что два ее поперечных сечения, ориентированных перпендикулярно линиям тока, находятся на различной высоте h1 и h2 над исходным (нулевым) уровнем и имеют площади S1 и S2; скорости течения жидкости в этих сечениях равны, соответственно, υ1 и υ2.
Пусть за время dt через сечение S1 в трубку втекает объем жидкости dW1=S1dL1, где dL1= V1dt. За это же время через сечение S2 вытекает объем dW2=S2V2dt. Из условия неразрывности струи следует: dW1= dW2. Движение жидкости в трубке тока выглядит так, как если бы элементарный объем жидкости dW1 из положения I переместился в положение II.
|
|
|
Рис. 9.4. К выводу уравнения Бернулли |
Найдем изменение Е полной механической энергии объема dW:
,
где:
.
В последнем соотношении m – масса жидкости, объем которой равен dW: m=dW. Подставляя (9.3) в (9.2), получим:
.
Поскольку движение происходит в поле тяжести, трение отсутствует, а силы давления на боковую поверхность трубки тока работы не совершают, то изменение энергии объема жидкости вызвано только работой сил давления на основания трубки тока S1 и S2:
.
Сила давления F1 совершает за время dt элементарную работу по перемещению элементарного объема dWI: dА1=F1dl1=P1S1V1dt. Аналогичным образом вычислим работу силы F2 в сечении S2. dA2= – F2dl2= – F2V2dt. Работа силы F2 отрицательна, так как направления вектора скорости V2 и силы давления F2 противоположны.
Результирующая работа сил давления, по перемещению жидкости равна:
.
Подставляя (9.4) и (9.6) в формулу (9.5) и перегруппировав члены, находим:
.
Это и есть уравнение Бернулли. Поскольку выбор положений 1 и 2 сделан произвольно, то полученное соотношение имеет общий характер: величина
имеет одно и тоже значение в любом сечении трубки тока. Все члены в правой части уравнения имеют размерность давления и представляют собой статическое, гидростатическое и динамическое давления.
С помощью уравнения Бернулли легко получить некоторые важные результаты, как для движущейся жидкости, так и для жидкости, находящейся в равновесии.
9.3. Формула Торричелли
Формулой Торричелли называют формулу, определяющую скорость V вытекания струи из отверстия. Рассмотрим резервуар, представленный на рис. 9.5, в боковой стенке которого на глубине h от свободной поверхности жидкости имеется малое отверстие, через которое вытекает жидкость.
Пусть свободной поверхности жидкости соответствует сечение S1, статическое давление на нее p1 равно атмосферному давлению pA. За счет вытекания жидкости из отверстия в стенке резервуара ее верхний уровень понижается. Если площадь S2 отверстия в сосуде достаточно мала, то скорость V1, с которой будет снижаться уровень свободной поверхности, также будет мала, и можно положить V1=0. Очевидно, что статическое давление в плоскости сечения S2 равно атмосферному давлению, т. е. р2=рА.
|
|
Рис. 9.5. К выводу формулы Торричелли |
Запишем уравнение Бернулли для сечений S1 и S2:
.
Используя введенные выше обозначения и обозначив разность уровней h2-h1 через h, приходим к выражению:
.
Решая уравнение относительно V, находим
.
Отметим, что скорость вытекания жидкости из отверстия на глубине h равна конечной скорости тела, свободно падающего с высоты h, и не зависит от направления вектора скорости V потока.