7.2. Физический маятник
Физическим маятником называется тело конечных размеров, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести тела.
Точка пересечения оси О с вертикальной плоскостью, проходящей через центр масс маятника, называется точкой подвеса маятника (рис. 7.3). Положение маятника в каждый момент времени можно характеризовать углом отклонения его из положения равновесия, а его движение описывать уравнением динамики вращательного движения твердого тела:
,
здесь I – момент инерции маятника относительно оси вращения, М – момент сил, действующих на маятник и – его угловое ускорение.
|
|
Рис. 7.3. К определению периода физического маятника. а = R расстояние от оси вращения до центра масс маятника, – угол отклонения маятника от положения равновесия |
Проецируя уравнение (7.11) на выбранную ось Z, имеем скалярное уравнение:
.
Учитывая, что угол мал и sin, перепишем (7.12) следующим образом:
.
Обозначив mgа/I через 2, имеем уравнение гармонических колебаний
,
решение, которого есть функция
.
Таким образом, малые колебания физического маятника будут гармоническими колебаниями с циклической частотой
и периодом Т
.
Отметим, что период малых колебаний физического маятника не зависит от амплитуды. Колебания, период которых не зависит от амплитуды, принято называть изохронными. Строго говоря, колебания физического маятника лишь приближенно изохронны: при условии, что угловая амплитуда колебаний не превышает нескольких градусов. При больших амплитудах изохронность нарушается.
7.3. Математический маятник
Математический маятник можно рассматривать как частный случай физического маятника.
Математический маятник – это система, представляющая собой материальную точку, подвешенную на невесомой нерастяжимой нити, совершающая колебательные движения под действием силы тяжести.
Математический маятник можно рассматривать как частный случай физического маятника и использовать для описания его движения соотношения параграфа 7.2. При таком подходе а = L, I = mL2, где L – длина маятника, и формула (7.15) переходит в
.
Сравнивая формулы (7.15) и (7.16), заключаем, что физический маятник колеблется так же, как математический маятник с длиной L:
,
называемой приведенной длиной физического маятника.
Приведенная длина физического маятника – равна длине такого математического маятника, период колебания которого равен периоду данного физического маятника.
Физический маятник имеет особую точку – центр качания.
Центр качания – математическая точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы период его колебаний остался без изменений.