8. 6.2. Закон сохранения момента импульса

Если система замкнута, а, значит, суммарный момент внешних сил равен нулю, то из уравнения (2.45) следует, что dL/dt=0, и L=const, соответственно. Таким образом, момент импульса замкнутой системы материальных точек не меняется с течением времени. Полученный результат позволяет сформулировать следующий закон сохранения:

• момент импульса замкнутой механической системы остается постоянным при любых изменениях, происходящих в ней.

Замечания

1. Момент импульса системы может сохраняться при наличии внешних сил при условии взаимной компенсации их моментов.

2. Момент импульса системы может сохраняться если действует внешняя центральная сила, а полюс О выбран в центре силового поля.

3. Для произвольной механической системы закон сохранения момента импульса не удается получить простым обобщением закона сохранения момента импульса для материальной точки, т. к. нельзя провести преобразования аналогичные преобразованиям, переводящим (2.22) в (2.31). Это связано с тем, что, в отличие от аддитивных величин, таких, как момент импульса системы L, момент внешних сил M и момент инерции, угловые скорость  и ускорение  не аддитивны и для различных элементов системы могут иметь различные значения, и для системы, как единого целого, не определены.

6.3. Закон сохранения механической энергии

Если на материальную точку (тело) действует сила, то ее (его) кинетическая энергия не остается постоянной. Интегрируя соотношение (5.12), получим, что

.

Физический смысл полученной формулы

заключается в следующем:

• приращение кинетической энергии материальной точки равно работе равнодействующей сил, приложенных к ней.

1. 6.3.1. Механическая энергия материальной точки

2. (тела) под воздействием консервативной силы

Работа консервативной силы при перемещении материальной точки (тела) из положения 1 в положение 2 – А₁₂может быть представлена (см. (5.1)) как убыль потенциальной энергии

.

Соотношение (6.4), в свою очередь, указывает, что в результате совершения работы увеличивается кинетическая энергия. Сравнивая (5.1) и (6.4) приходим к выводу, что:

,

или собирая члены, соответствующие одному состоянию в различных частях уравнения:

.

Полученный результат означает, что величина полной механической энергии частицы (тела) E=T+U для в поле консервативных сил остается постоянной.

• При отсутствии неконсервативных сил полная механическая энергия остается постоянной – сохраняется.

• Увеличение кинетической энергии системы в присутствии консервативных сил происходит за счет убыли ее потенциальной энергии. Наоборот, уменьшению кинетической энергии системы в присутствии консервативных сил соответствует увеличение ее потенциальной энергии.

6.3.2. Механическая энергия материальной точки (тела) под воздействием произвольных сил

В общем случае на материальную точку (тело) могут действовать силы консервативные Fи неконсервативныеF*. В этом случае (см. (4.4)) полная работа А₁₂при перемещении из положения 1 в положение 2 равна сумме работ консервативных и неконсервативных сил

.

Как известно (5.1), работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии, и соотношение (6.5) можно переписать так

.

Преобразуем полученное выражение

,

здесь E=T+U, как всегда, – полная механическая энергия. Полученный результат означает, что

• работа неконсервативных сил затрачивается на изменение полной механической энергии.

При условии, что кинетическая энергия в начальном и конечном положениях системы одна и та же, работа неконсервативных сил идет на изменение потенциальной энергии.