2. Динамика движения материальной точки по окружности

Кинематика вращательного движения материальной точки рассматривалась в пунктах 1.4-1.5. Было отмечено, что даже при равномерном движении материальной точки по окружности, ее линейная скорость непрерывно изменяется по направлению. Это происходит благодаря ускорению (см.(1.24)) , называемому центростремительным а_Ц, или нормальным ускорением – а_n. Ускорение материальной точки, в соответствии со вторым законом Ньютона, сонаправлено с вектором равнодействующей приложенных сил, и равно:

.

Таким образом, равномерное движение по окружности материальная точка может совершать, если равнодействующая F всех сил, приложенных к ней, направлена к центру окружности. Часто силу вызывающую центростремительное ускорение называют "центростремительной силой". Этот термин, как правило, вызывает заблуждение, ориентируя на поиск специфической центростремительной силы. Такой особой – центростремительной силы в природе не существует. Центростремительное ускорение вызывает равнодействующая приложенных сил! Во избежание недоразумений и ошибок мы рекомендуем не пользоваться термином "центростремительная сила", а уравнение динамики вращательного движения материальной точки, масса которой равна m, записывать в следующем виде:

.

Динамика движения материальной точки по окружности может быть изучена на основе общего подхода – с помощью основного закона динамики вращательного движения. Уточним некоторые определения.

• МоментсилыотносительноточкиО (полюса О) – векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектораrточки приложения силы, проведенного из точки О, и вектора силыF:

.

Рис. 2.16. К определению вектора момента силы.

Напомним, что векторное произведение представляет собой вектор, направление которого определяется по правилу буравчика (см. (Б.II), параграф 1.5). Абсолютная величина (модуль) вектора векторного произведения равна произведению модулей векторов–сомножителей и синуса угла между ними

.

Из рисунка 2.16 видно, что модуль М можно представить следующим образом:

,

где – плечо силы относительно точки О.

• Плечосилы– кратчайшее расстояние от полюса О до линии действия силы, т. е. длина перпендикуляра, опущенного из полюса на линию действия силы.

• Моментсилыотносительнооси– это скалярная величина М, равная проекции на эту ось вектора момента силыМ, определенного относительно точки, лежащей на этой оси:

,

где F_┴ – проекция силы F на плоскость, перпендикулярную оси Z, L – плечо силы F относительно оси Z.

В случае действия нескольких сил F_i результирующий момент равен векторной сумме моментов M_i всех сил:

или ,

в последнем выражении берут алгебраическую сумму, в которой знак M_i зависит от знака проекции M_i на ось Z.

• Моментимпульсаматериальнойточкиотносительноточки(полюса – О) – это векторная величина, равная векторному произведениюL=[r,р], гдеr– радиус-вектор материальной точки (начало которого находится в полюсе О),р– импульс точки.

• Моментинерцииматериальнойточкиотносительнооси– скалярнаявеличина, равная произведению массыmматериальной точки на квадрат расстоянияrот материальной точки до оси:

.

Вращательное движение материальной точки описывается уравнением, которое называется основным уравнением динамики вращательного движения. Запишем уравнение второго закон Ньютона для материальной точки, движущейся по окружности радиусом r:

. (*)

Учитывая формулу Эйлера , перепишем (*) следующим образом:

.

Умножим справа обе части полученного уравнения векторно на радиус-вектор r материальной точки:

.

Соотношение (2.35) можно упростить. Действительно, поскольку вектор параллелен векторуr, то

.

Имеем:

.

Раскрывая оставшееся двойное векторное произведение (см. (1.23)):

и учитывая, что векторы r и d/dt взаимно перпендикулярны, а поэтому их скалярное произведение равно нулю, приходим к выражению:

.

Правая часть уравнения (2.36) представляет собой момент М силы F относительно полюса. Произведение mr²=J есть момент инерции материальной точки, d/dt= – угловое ускорение вращательного движения. Следовательно, уравнение (2.36) можно записать так:

.

Уравнения (2.37) выражает основной закон динамики вращательного движения материальной точки. Оно является не только следствием, но и полным аналогом второго закона Ньютона ma = F для случая поступательного движения материальной точки.

Заметим, что уравнение получено для случая, когда полюс совпадает с центром вращения материальной точки. Если рассматривать движение материальной точки относительно оси вращения Z, то уравнение движения примет соответствующую скалярную форму:

,

где M_Z – суммарный момент сил относительно оси Z, J_Z – момент инерции относительно оси, _Z – проекция угловой скорости на ось Z, d_Z/dt= – угловое ускорение.

Продифференцируем уравнение L=[r,P], определяющее момент импульса L материальной точки по времени:

.

Получаем:

.

Это уравнение является одним из основных уравнений динамики вращательного движения материальной точки. Оно является следствием и аналогом уравнения (2.31) dP/dt=F.

Из соотношения (2.40) следует, что под воздействием приложенного момента сил М0 момент импульса материальной точки изменяется таким образом, что

.

Соотношение (2.41) выражает закон изменения момента импульса. Очевидно, что вектор приращения момента импульса dL направлен параллельно вектору М момента силы.

Выражение момента импульса можно представить в следующем виде:

Обратим внимание на то, что соотношения (2.37) и (2.40) получены нами для материальной точки.