Тема 2: Условная вероятность. Независимые события. Формула полной вероятности и Байеса.

1. Условная вероятность. Независимые события.

Пусть ислучайные события из алгебры событий.

Определение. Вероятностью события при условии, что событиенаступило, или просто условной вероятностью событияназывают выражение

(1)

Проиллюстрируем это понятие в случае, когда пространство элементарных событий конечно. Пусть, то естьесть число всевозможных исходов опыта. Пустьk, m есть количество исходов опыта при которых наступают события исоответственно (очевидно, что). Тогдаи по определениюЭто соответствует классическому определению вероятности для нового опыта, в котором общее количество исходов равно(в стольких случаях наступает событие), а число случаев, когда еще наступает событие(то естьинаступают одновременно) равно.

Замечание. Условная вероятность обладает всеми свойствами обычной вероятности. Из формулы (1) следует также, что

(2)

Пример. Какова вероятность того, что вытащенная кость домино окажется «дуплем», если известно, что сумма очков на этой кости является четным числом?

Решение.

Пусть событие состоит в том, что вытащенная кость есть дупль, а событиесостоит в том, что сумма очков на ней четна. Из 28 костей домино 16 имеют четную сумму и на 7 дублях сумма очков четна. Поэтому

Заметим, что безусловная вероятность

Определение. Случайные события инезависимы, если наступление событияне изменит вероятности наступления события:

(3)

Замечание. Если случайные события инезависимы, то из формул (1), (2) следует следующее правило умножения вероятностей:

(4)

В дальнейшем независимость случайных событий ибудет пониматься, как выполнение равенства (4).

Задача. Доказать, что если инезависимы, то независимы также событияи,и,и.

Пример. Брошены монета и игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет «герб» или «6».

Решение.

Пусть иесть случайные события, состоящие в падении герба и шестерки соответственно. Пустьесть искомое случайное событие. Очевидно, что

Появление герба не влияет на появление шестерки. Поэтому события инезависимы и

По формуле вероятности суммы событий

Замечание. При решении многих задач на вероятность мы будем следовать по такому же плану, как в последнем примере.

Приведем этот план:

1. Обозначить буквами события, рассматриваемые в задаче.

2. С помощью введенных обозначений выразить случайное событие, вероятность которого требуется найти.

3. Выбрать необходимую для решения формулу и выполнить необходимые вычисления.

2. Формула полной вероятности и Байеса.

Пусть - пространство элементарных событий с алгеброй случайных событий.

Определение. Говорят, что случайные события образуют полную группу событий, если они попарно несовместны (то естьи

Такие случайные события называют также гипотезами. Заметим, что для полной группы событий из аксиом 2, 3 следует, что

Теорема. Пусть полная группа событий. Тогда

(5)

Доказательство.

Так как полная группа событий, то не трудно доказать, что

При этом события как и событияпопарно несовместны. Из последнего равенства, аксиомы 3 и формулы (2) следует (5). Теорема доказана.

Формула (5) называется формулой полной вероятности.

Пример. В первой урне находится три белых и четыре черных шара, а во второй – пять белых и два черных. Из первой урны во вторую перекладывается один шар. Какова вероятность того, что шар, вынутый наугад из второй урны, окажется белым?

Решение.

Обозначим искомое событие через . Состав второй урны зависит от того, какой шар переложили из первой урны.

Обозначим через случайные события, состоящие в том, что из первой урны переложен белый и черный шары соответственно. Очевидно, чтоисоставляют полную группу событий. Найдем

Если переложили белый шар (то есть верна гипотеза ), то во второй урне окажется 6 белых и 2 черных шара. Поэтому

Аналогично,

По формуле полной вероятности

В качестве следствия из формулы полной вероятности выведем формулу Байеса, которая в некотором смысле решает обратную задачу. Пусть полная группа событий. Допустим, что в результате некоторого опыта наступило случайное событие. Требуется найти вероятности выполнения гипотезто есть вычислить

Найдем вероятность , гдеИз формулы (2) следуют равенства

; ;

Приравнивая правые части, получим

; .

Выразив P(A) по формуле полной вероятности, выведем формулу

,

которая называется формулой Байеса.