2. Прямолинейное движение и движение по окружности материальной точки

Если ускорение материальной точки во все моменты времени равно нулю, то скорость ее движения постоянна по величине и по направлению. Траектория в этом случае представляет собой прямую линию. Движение материальной точки в сформулированных условиях называют равномерным прямолинейным. При прямолинейном движении центростремительная составляющая ускорения отсутствует, а поскольку движение равномерное, то и касательная составляющая ускорения равна нулю.

Если ускорение остается постоянным во времени (), то движение называют равнопеременным или неравномерным. Равнопеременное движение может быть равноускоренным, если а > 0, и равнозамедленным, если а < 0. В этом случае мгновенное ускорение оказывается равным среднему ускорению за любой промежуток времени. Тогда из формулы (1.5) следует а = v/t = (v-v_o)/t, откуда

(1.7)

где v_o — начальная скорость движения при t=О, v — скорость в момент времени t.

Согласно формуле (1.4) ds = vdt. Тогда

Поскольку для равнопеременного движения a=const, то

(1.8)

Формулы (1.7) и (1.8) справедливы не только для равнопеременного (неравномерного) прямолинейного движения, но также для свободного падения тела и для движения тела, брошенного вверх. В последних двух случаях а = g = 9,81 м/с².

Для равномерного прямолинейного движения v = v_o= const, а = 0, и формула (1.8) принимает вид s = vt.

Движение по окружности является простейшим случаем криволинейного движения. Скорость v движения материальной точки по окружности называют линейной. При постоянной по модулю линейной скорости движение по окружности является равномерным. Касательное ускорение материальной точки при равномерном движении по окружности отсутствует, а_= 0. Это значит, что отсутствует изменение скорости по модулю. Изменение вектора линейной скорости по направлению характеризуется нормальным ускорением, а_n 0. В каждой точке круговой траектории вектор а_n направлен по радиусу к центру окружности.

а_n=v²/R, м/с². (1.9)

Полученное ускорение действительно является центростремительным (нормальным), так как при t—>0  тоже стремится к нулю (—>0) и векторы и будут направлены вдоль радиуса окружности к ее центру.

Наряду с линейной скоростью v равномерное движение материальной точки по окружности характеризуется угловой скоростью. Угловая скорость представляет собой отношение угла поворота  радиуса-вектора к интервалу времени, за который этот поворот произошел,

рад/с (1.10)

Для неравномерного движения используется понятие мгновенной угловой скорости

.

Интервал времени t, в течение которого материальная точка совершает один полный оборот по окружности, называют периодом вращения, а величину, обратную периоду, — частотой вращения: n = 1/T, с^-1.

За один период угол поворота радиус-вектора материальной точки равен 2π рад, поэтому , t = Т, откуда период вращения , а угловая скорость оказывается функцией периода или частоты вращения

, рад/с.

Известно, что при равномерном движении материальной точки по окружности путь, ею пройденный, зависит от времени движения и линейной скорости: s = vt, м. Путь, который проходит материальная точка по окружности радиусом R, за период, равен 2πR. Время, необходимое для этого, равно периоду вращения, то есть t = Т. И, следовательно,

2πR = vT, м (1.11)

и v = 2nR/T = 2πnR, м/с. Поскольку угол поворота радиус-вектора материальной точки за период вращения Т равен 2π, то, исходя из (1.10), при t = Т, . Подставляя в (1.11), получим и отсюда находим связь между линейной и угловой скоростью

.

Угловая скорость — векторная величина. Вектор угловой скорости направлен из центра окружности, по которой движется материальная точка с линейной скоростью v, перпендикулярно плоскости окружности по правилу правого винта.

При неравномерном движении материальной точки по окружности изменяются линейная и угловая скорости. По аналогии с линейным ускорением в этом случае вводится понятие среднего углового ускорения и мгновенного: . Соотношение между касательным и угловым ускорениями имеет вид .