Свойства операций над множествами

Операции объединения, пересечения, разности множеств обладают следующими свойствами:

1. Коммутативность объединения: АВ = ВА

пересечения: AB = ВА

2. Ассоциативность объединения: (АВ) С = А (В С)

пересечения: (AB) С = A (BС)

3. Дистрибутивность объединения относительно пересечения:

А (BС) = (АВ) (АС)

или (AB) С = (АС) (ВС)

пересечения относительно объединения:

A (В С) = (AB) (АС)

или (АВ) С = (AС) (BС)

4. Идемпотентность объединения: АА= А

пересечения: AА = А

5. Поглощения объединения: АJ = J и АØ = А

пересечения: AJ = А и АØ = Ø

6. Если АВ, то АВ = В и AB = А

7. А (АВ) = А и A (АВ) = А

8. Законы де Моргана: (АВ) = AB

(AB) = AВ

9.

10. Закон двойного отрицания:

11. J Ø

12. .

Законы алгебры множеств по отношению к операциям пересечения и объединения подчиняются принципу двойственности: если в любом верном тождестве знаки пересечения заменить знаками объединения, а все знаки объединения заменить знаками пересечения (), знак универсального множества заменить знаком пустого множества, а знак пустого – знаком универсального множества Ø, то получим также верное равенство.

Например, - верное равенство. Тогда в силу принципа двойственности Ø – также верное равенство.

Доказательство некоторых свойств операций объединения и пересечения прямо следует из их определения, доказательство других свойств также можно провести.

Самостоятельно рассмотреть понятие пересечения, объединения «п» множеств.

Число элементов в объединении конечных множеств и в дополнении к подмножеству

Пусть А и В – два непустых конечных множества. Число элементов во множестве будем обозначать или . Например, если А = {a;b;c;d}, В = {m;n}, то = 4, а = 2.

Теорема: Число элементов в объединении двух конечных множеств равно сумме чисел элементов в каждом из них, уменьшенной на число элементов в их пересечении.

Доказательство:

Обозначим число элементов во множестве буквой , а во множестве буквой , т.е. .

1

B

A

) Пусть Ø. Тогда и формула примет вид: .

Штриховкой на диаграмме показано . Очевидно, что .

A

B

2) Пусть Ø.

на диаграмме показано двойной штриховкой. Так как множества А и В – конечные множества и Ø, то также множество конечное. Пусть n( )= c, .

Очевидно, что состоит из трех попарно непересекающихся подмножеств: (на диаграмме показано двойной штриховкой), (на диаграмме показано горизонтальной штриховкой), (на диаграмме показано вертикальной штриховкой). Тогда = + + (смотри случай 1).

Пусть =, =. Тогда = +c+=(+c)+= (+c)++c - c = (+c)+(+c) – c = m + p – c = .

Теорема: Число элементов в объединении трех конечных множеств А, В, С, равно:

Доказательство:

В основе доказательства лежит свойство ассоциативности операции объединения множеств: А также тот факт, что равные множества состоят из одних и тех же элементов. Тогда . Доказать сам-но.

Теорема: Пусть даны конечные множества А и В. И пусть В – собственное подмножество множества А. Тогда n(A \ B) = n(A)-n(B).

Доказательство

Пусть даны множества А и В, где . Тогда , и Ø. Тогда . Отсюда .

Так как , то , где .

Лекция № 6. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ.