Пересечение множеств

Пусть даны произвольные множества А и В.

Определение: Пересечением множеств А и В называется множество AB, элементы которого одновременно принадлежат и множеству А и множеству В.

AB={x|xA и xB}

Рассмотрим множества А и В. Покажем на диаграмме пересечение этих множеств. Пусть:

1) множества А и В не вступают в отношение друг с другом.

Очевидно, что в этом случае AB= Ø.

2) множества А и В находятся в отношении равенства.

Тогда AB=A=B.

A=B

3) множества А и В находятся в отношении включения.

Если АВ, то AB=A, если ВА, то AB=В.

A

B

B

A

Штриховкой показано множество элементов, принадлежащих AB.

4) множества А и В находятся в отношении пересечения.

B

A

Двойной штриховкой показано множество элементов, принадлежащих AB.

Пример:

Пусть А = {3; а; b}, B = {1; 3; 7}. Найдем AB.

По определению пересечения двух множеств AB = { 3 }, так как только элемент x = 3 принадлежит и множеству А и множеству В. Изобразим множества А и В и их пересечение на диаграмме:

B

A

Замечание : В речи операции пересечения соответствует союз «И», а операции объединения – союз «ИЛИ».

Таким образом, по определению x AB xA и xB.

В пересечение множеств А и В не войдут те элементы, которые не входят в А, или в В. Таким образом, x AB xA или xB. Другими словами,

Замечание: Операция отыскания объединения (пересечения) множеств также называется объединением (пересечением).

Вычитание множеств

Пусть даны произвольные множества А и В.

Определение: Разностью двух множеств А и В называется множество А\В, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

А\В = {x| xA, xB}

Покажем на диаграмме разность множеств А и В. Пусть:

1) множества А и В не вступают в отношение друг с другом.

Очевидно, что в этом случаеА\В = А, а В\А = В.

A

B

A

B

2) множества А и В находятся в отношении равенства.

Тогда А\В = В\А = Ø.

A=B

3) множества А и В находятся в отношении включения.

Если АВ, то А\В = Ø. Если ВА, то А\В Ø

A

B

B

A

4) множества А и В находятся в отношении пересечения.

A

B

Штриховкой показано множество элементов, принадлежащих А\В.

Примеры:

1) Пусть А = {3; а; b}, B = {1; 3; 7}. Найдем А\В.

По определению разности двух множеств А\В = {a;b}, так как только эти элементы множеству А принадлежат, а множеству В - нет.

2) A = N, B = Z.

Так как NZ, (т.е. AB), то А\В=N\Z= Ø , а Z\N – это множество целых отрицательных чисел или нуль.

Замечание: Если множество В является подмножеством множества А, то разность А\В называется дополнением множества В до множества А и обозначается В.

ВА А\В= В

Если А – это универсальное множество (J), то разность J \В= В. При этом не указывается до какого множества.

Примеры:

1) Пусть А = {3; а; b}, B = {1; 3; 7}. Если возможно, найдите дополнение множества В до А или А до В.

Так как АВ и ВА, то говорить о дополнения одного множества до другого не имеет смысла.

2) A = N, B = Z.

Так как NZ, (т.е. AB), то В\А=Z\N=N – это множество целых отрицательных чисел или нуль.

Замечание: Для задания множества действительных чисел используют специальные обозначения: числовые промежутки. Так, например,

[a; b] = {x|xR, axb}

[a; b) = {x|xR, ax<b}

(a; b] = {x|xR, a<xb}

(a; b) = {x|xR, a<x<b}

Указанные промежутки – это подмножества действительных чисел.