Отношения

Пусть F= <X,Y,G_f >, где G_f - соответствие между элементами Х иY.

Определение: Если Х=Y, то F=<X,X,G_f > называется отношением на множестве Х.

Другими словами, отношение на множестве X это соответствие между элементами одного и того же множества.

Из определения отношения на Х следует , что отношение – это частный случай соответствия. Следовательно, все понятия, которые имеют место для соответствий, имеют место и для отношений, но есть и особенности.

Особенности, присущие отношениям:

1) область отправления и область прибытия совпадают;

2) D_F X;

3) E_F X (а для общего случая соответствий: Е_FY);

4) G_F = {(x,y)/xX, yX, xFy }.

Способы задания те же, что и для соответствий, но граф отношения на Х- однодольный (Х = Y), доля не рисуется , элементы обозначаются точками и называются вершинами графа .Факт вступления элементов в отношение обозначается стрелкой. Если элемент вступил в отношения сам с собой, то в вершине рисуется петля.

Пусть Х = {a,b,c}. Отношение F между элементами множества X задано при помощи графа:

Тогда область отправления отношения F: Х, область прибытия :Х.

a

b

c

Область определения D_F = {a,с}X;

множество значений E_F = {a,b}X.

График отношения G_F = {(a,a),(c,b)} X².

Задание – самостоятельно перечислить все способы задания отношения.

Свойства отношений на множестве

Пусть F=<X, X, G_F >, где G_F X² – отношение на множестве Х.

G_F = {(x,y)| xX, yX, xFy}.

Определение: Отношение на множестве Х называется рефлексивным, если всякий элемент xX вступает в это отношение сам с собой:

(xX) [xFx]- «и»

Особенности графа: в каждой вершине графа рефлексивного на множестве Х отношения - петля.

Особенности графика: графику рефлексивного отношения принадлежат все пары вида (х,х): (xX) (x; x).

Определение 2: Отношение F на множестве Х называется антирефлексивным, если ни один элемент множества Х не вступает в отношения F сам с собою:

(хХ)[ ]-«и».

Особенности графа: ни в одной вершине графа нет петли.

Особенности графика: графику не принадлежит ни одна пара с равными компанентами (вида (х,х)): (xX) (x; x).

Примеры: отношение равенства на множестве множеств; не меньше; не больше на числовом множестве; параллельности на множестве прямых и т.д. – рефлексивные отношения. Отношения неравенства; больше; меньше на числовых множествах; перпендикулярности на множестве прямых и др. – антирефлексивные отношения.

Рассмотрим отношение, заданное на множестве людей: «быть отцом».

Является ли оно рефлексивным? Нет, так как ни один человек не может быть отцом самому себе. Стало быть, оно антирефлексивное.

Определение 3: Отношение F на множестве Х называется симметричным, если для любых элементов х,уХ истинно утверждение: если элемент x вступил в отношение F c элементом y (хFy), то и элемент y вступил в данное отношение с элементом x (уFx):(х,уХ)[xFyyFx] – «и».

Особенности графа: граф симметричного отношения содержит только двойные стрелки или никаких.

Особенности графика: если графику принадлежит пара (х,у), то и пара (у,х) принадлежат этому графику: (x,yX) [(х,у) G_F (y,x) G_F].

Примеры: отношения равенства на множестве множеств и на числовом множестве; отношения параллельности и перпендикулярности на множестве прямых; отношение «быть родственником» на множестве людей и др.

Определение 4: Отношение F на множестве Х называется асимметричным, если для любых двух элементов х и у множества Х верно утверждение: если элемент хX вступает в отношение F с элементом у, то неверно, что элемент у вступает в отношение F c элементом х этого же множества: (x,yX) [xFy]-«и».

Другими словами: ни для каких элементов х и уХ; не может быть одновременно xFy u yFx.

Особенности графа: все стрелки графа асимметричного отношения одинарные и ни в одной вершине нет петель!

Особенности графика: (x,yX) если (х,у) G_F, то (у,х) G_F.

Примеры: отношения «>»; «<»; «толще» и т.д. являются асимметричными.

Определение 5: Отношение F на множестве Х называется антисимметричными, если для любых двух различных элементов х и у из множества Х истинно утверждение: если хХ вступает в отношение F с элементом у, то у не вступает в отношение F с элементом х .

Итак, F- антисимметрично (x,yX) (x ≠ y) [xFy=>].

Особенности графа: граф антисимметричного отношения содержит только одинарные стрелки и могут быть петли.

Особенности графика: (x,yX)если (x,y)G_F, то (у,х) G_F, и (x,x)G_F

Замечание: асимметричное отношение - это одновременно антисимметричное и антирефлексивное отношение.

Определение 6: Отношение F на множестве Х называется транзитивным, если для любых трех элементов множества Х справедливо утверждение: если элемент х находится в отношении F с элементом y, а элемент y находится в отношении F с элементом z, то элемент х вступит в отношение F с элементом z: (xFy)Λ(yFz)=>(xFz).

Таким образом, F –транзитивно (x,y,zX)[xFyyFzxFz].

Особенности графа: граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок идущих от х к у и от у к z, содержит стрелку от х к z.

Особенности графика: если (x,y)G_F (y,z)G_F то (х,z)G_F.

Пример 1: отношение параллельности на множестве прямых является транзитивным: (aв)(вс) (ac) для любых (a,в,с) из множества прямых на плоскости.

Пример 2: отношение «>» на множестве действительных чисел:

(х > y)(y > z) (x > z)(x,y,zR).

Определение 7: Отношение F на множестве Х называется антитранзитивным, если для (х,у,zX) верно утверждение: если элемент х находится в отношении F с элементом y, а элемент y находится в отношении F с элементом z, то элемент х не вступает в отношение F с элементом z: [xFyyFz=>].

Таким образом, F- антитранзитивно (x,y,zX)[xFyyFz=>].

Особенности графа: если граф содержит стрелку от х к у и у к z, то не содержит стрелку от х к z.

Особенности графика: если (x,y)G_F (y,z)G_F то (х,z) G_F.

Пример 1: отношение перпендикулярности на множестве прямых антитранзитивно.

а

в с

Определение 8: Отношение F на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пример: отношение равенства на множестве чисел, отношение параллельности на множестве прямых, отношение равенства на множестве множеств, отношение подобия на множестве фигур являются отношениями эквивалентности.

Отношение эквивалентности связано с разбиением множества на классы.

Теорема: Для того, чтобы отношение R позволяло разбить множество X на попарно непересекающиеся классы, необходимо и достаточно, чтобы R было отношением эквивалентности.

Доказательство смотри стр 174 учебника ч.1 (Охременко Д.В., Тонких А.П.)

Пример: Пусть X = {x׀xN, x < 12}. Зададим отношение F: x и у делятся на 5 с одинаковым остатком.

Является ли оно отношением эквивалентности? Если да, то задайте классы эквивалентности. Укажите граф.

Данное отношение рефлексивно, симметрично, транзитивно. Следовательно, оно является отношением эквивалентности и производит разбиение множества Х на классы эквивалентности.

1:5=0(ост.1) 6:5=1(ост.1) 11:5=2(ост.1)

2:5=0(ост.2) 7:5=1(ост.2)

3:5=0(ост.3) 8:5=1(ост.3)

4:5=0(ост.4) 9:5=1(ост.4)

5:5=1(ост.0) 10:5=2(ост.0)

Тогда Х₁ = {1,6,11} X₂ = {2,7} X₃ = {3,8} X₄ = {4,9} X₅ = {5,10}.

Все условия разбиения множества на классы выполнены:

X_iX_j = Ǿ (i,jN) X₁X₂X₃X₄X₅ = X.

1

2

4

5

6

7

8

9

10

11

3

Отношение порядка. Упорядоченные множества

Пусть на множестве Х задано отношение F.

Определение 9: Отношение F на множестве Х называется отношением строгого порядка, если оно асимметрично и транзитивно.

Из определения следует, что если

Другими словами, если отношение F

1)антирефлексивно

2)антисимметрично то F - отношение строгого порядка.

3)транзитивно

Например, отношение «>», «<», «выше», «уже» и другие являются отношениями строгого порядка.

Определение 10: Отношение F на множестве Х называется отношением нестрогого порядка,если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Из определения следует, что, если

1

)(хХ)[xFx]

2)(x,yX)(x ≠ y)[xFy] F – отношение нестрогого порядка.

3)(x,y,zX)[xFy yFzxFz]

Например, отношение «≤», «≥», «не выше», «не старше» и другие являются отношениями нестрогого порядка.

Особенности графов:

1. граф отношения строгого порядка – не содержит петли, все стрелки одинарные, все треугольники стрелок замкнуты.

2) граф нестрогого порядка – содержит петли в каждой вершине, все стрелки одинарные, все треугольники стрелок замкнуты.

Определение: Множество Х называется упорядоченным или линейно упорядоченным, если:

а) на множестве Х задано отношение порядка F=<X,X,G>;

б) любые два различных элемента x и y множества Х находятся в данном отношении, т.е. имеет место либо хFу, либо уFх. Это говорит о том, что на графе нет ни одной пары элементов, между которыми не было бы стрелки.

Пример: Пусть А = {Ваня, Коля, Саша, Олег, Игорь}. Отношение: F:«х прыгнул дальше y» задано графом:

В

К

О

С

И

Является ли множество А линейно упорядоченным?

Анализируя граф данного отношения, будем иметь:

1) F –антирефлексивно, т.к. ни в одной вершине графа нет петли;

2) F – антисимметрично, т.к все стрелки одинарные;

3) F- транзитивно.

Следовательно, F – отношение строго порядка, но оно не упорядочивает множество А т.к. не все элементы множества А связаны друг с другом . В этом случае говорят о частичном порядке.