Полный образ и полный прообраз

Рассмотрим в соответствии R = <X,Y,G_R>, где G_R XY все пары вида (a; у), где и , для которых верно аRу.

Множество всех таких у из множества Y, для которых верно аRy, назовём полным образом элемента а Х в соответствии R между элементами множеств Х иY.

X Y

Y₁

Y₂

Y₃

Пусть у=bY. Расмотрим все пары вида (х,b) для которых верно хRb. Тогда множество таких х из множества Х, для которых верно хRb, назовём полным прообразом элемента b соответствии R между элементами множеств Х и Y.

X Y

X₁

X₂

X₃

X₄

В примере 1 полный прообраз элемента 4 состоит из одного элемента: 2; полный образ элемента 3 состоит из одного элемента: 9.

Способы задания соответствий

1) по определению бинарное соответствие будет задано, если будут заданы множества Х,Y, и G_R - это самый общий способ задания cоответствия;

2) соответствие может быть задано своим графиком: G_R = {(x,у)| хХ, уR ,хRy}. График соответствия может быть задан перечислением элементов или указанием характеристических свойств;.

3) если множества Х иY конечные, то соответствие между элементами этих множеств может быть задано с помощью графа:

X R Y

4) с помощью таблицы, если множества Х и Y-конечные;

Х У	4	9
2
3
5

5) соответствие может быть задано графически на плоскости , если множества Х и Y-числовые.

В примере 1

9 М₂ М₁ (2;4).

М₂(3;9).

4 М₁

2 3 5

6) с помощью двухместного предиката, то есть предложения с двумя переменными, выражающего факт вступления элементов в соответствие.

R(х; у): хRy, хХ, у Y

R(x; у): «x – делитель y», х Х , у Y .

Рассмотрим между элементами множеств Х = {2; 3; 4} и Y = {5; 6; 8} соответствие R: х - делитель у. Тогда Х - область отправления соответствия, Y- область прибытия. Область определения соответствия: Д_R = {2,3,4}, множество значений соответствия: Е_R = {6;8}.

Пусть соответствие между элементами множеств X и Y задано при помощи графа.

X R Y

.

Тогда полный образ элемента 2состоит из двух элементов: 6 и 8:

R(2) = {6;8}; R(3) = {6}; R(4) = {8}. R(7) – пуст.

Полный прообраз элемента 5 пуст; ; .

Типы соответствий

Пусть R = <X,Y,G_R>, где G_R XY и G_R = {(x,у)| хХ, yY, хRy}.

Определение: Если множество G_R (график соответствия R между элементами множеств X иY) совпадает с множеством , то это соответствие называется полным.

Пример: X = {1,2,3} Y = {5,7,8}. R(x; y): х < y.

ХY = {(1,5),(1,7),(1,8),(2,5),(2,7),(2,8),(3,5),(3,7),(3,8)}

G_R = {(1,5),(1,7),(1,8),(2,5),(2,7),(2,8),(3,5),(3,7),(3,8)}.

Тогда G_R =. Следовательно, R- полное соответствие.

Определение: Если график соответствия R между элементами множеств Х и Y-есть пустое множество (G_R = Ǿ }, то такое соответствие называется пустым.

Пример: X = {1,2,3} Y = {5,7,8}. R(x; y): х > y.

Очевидно, G_R = Ǿ = > R- пустое соответствие.

Определение: Соответствия F и R между элементами множеств X и Y называется противоположными, если их графики являются дополнениями друг друга до множества ХY, то есть G_FG_R = Ǿ и G_FG_R = ХY => F и R - противоположные.

Если соответствие F задано предикатом F(x,у), то противоположное ему соответствие задаётся предикатом, который есть отрицание предиката F(x,у).

Пример : X = {1,2,3}, Y = {5,7,8}.

Пусть F(x,у): х < y. Тогда : х y – противоположное ему соответствие . Очевидно, G = Ǿ, а G = {(1,5),(1,7),(1,8),(2,5),(2,7),(2,8),(3,5),(3,7),(3,8)}. Они являются противоположными соответствиями.

Определение: Соответствия F и R между элементами множеств Х и Y называются несовместимыми, если G_F∩G_R = Ǿ.

Это значит, что нет ни одной пары (х,у), для которой одновременно выполняются условия хFy и хRy.

Ясно, что противоположные соответствия, можно называть несовместимыми, а наоборот - нельзя.

Определение: Если график соответствия F между элементами множеств Х иY является подмножеством графика соответствия R между элементами множеств Х иY ( то есть G_FG_R), то соответствие R называется следствием соответствия F.

Пример 1: Х - множество треугольников плоскости.

F: ∆ х = ∆у.

R: ∆ х ~ ∆y.

G_F G_R => R - следствие соответствия F.

Пример 2: X = {1, 2, 3}

Y = {2, 3, 5}

F: х y. Тогда G_F = {(1,2),(1,3),(1,5),(2,2),(2,3),(2,5),(3,5)}.

R: х < y. G_R = {(1,2),(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(3,5)}.

G_R G_F => F- следствие соответствя R.

Определение: Обратным к соответствию R = <X,Y,G_R> между элементами множеств X и Y называется такое соответствие между элементами множеств Y и X , при котором тогда и только тогда, когда .

Граф обратного соответствия получается из графа данного соответствия путём замены стрелок на противоположные.

Пусть G_R – график данного соответствия между элементoв множества Х и Y, тогда, чтобы построить график обратного соответствия R^-1 между элементoв множества Y и Х, надо поменять местами компоненты пар.