Отрицание высказываний, содержащих кванторы
Пусть
даны высказывания:
Отрицать высказывания, содержащие кванторы, можно двумя способами:
1
способ:
С помщью словосочетания «неверно,
что»,
которое ставится перед предложением:
неверно,
что
неверно,
что
2 способ: 1) кванторы заменяются на противоположные.
2) предложение, стоящее после квантора, заменяется его отрицанием.
Пример:
Пусть на множестве R
задан предикат:
.
Обратим этот предикат в высказывание:
ложное
высказывание.
истинное
высказывание.
1 способ отрицания:
Неверно,
что
это истинное высказывание;
Неверно,
что
это ложное высказывание.
2 способ отрицания:
Замечание: Второй спосб построения отрицания высказывания имеет место и в случае построения отрицания многоместных предикатов.
Отношение логического следования и равносильности на множестве предложений
Пусть
А(х)
и В(х)
заданы на множестве Х
и пусть их импликация А(х)
В(х)
– истинна
для
т.е. истинно
высказывание
.
В этом случае говорят, что В(х)
логически
следует
из А(х).
И
звестно,
что
.
Из определения логического следования
предикатов следует, что
,
т.е.
.
Тогда
.
Очевидно,
это возможно, если
.
Таким
образом,
В(х)
логически следует из А(х).
Пример:
На множестве N
заданы предикаты А(х):
натуральное число
и
В(х):
натуральное число
.
Очевидно,
что
.
Построим импликацию:
.
Эта
импликация истинна на всей области
определения, т.е.
- истинное высказывание. Значит, делимость
натурального числа на 2 логически
следует из
его делимости на 4.
Если В(х) логически следует из А(х), то В(х) – необходимое условие для А(х), А(х)- достаточное. условие для В(х).
Допускают и другие фразеологии:
Из предиката А(х) логически следует предикат В(х), А(х) достаточное условие для В(х), а В(х) – необходимое условие для А(х).
Тогда
если высказывание:
- истинно, то его можно прочесть так:
1) Из А(х) логически следует В(х);
2) Для того, чтобы выполнялось В(х) на множестве Х достаточно, чтобы выполнялось А(х) на множестве Х
3) Для того, чтобы выполнялось А(х) на множестве Х необходимо, чтобы выполнялось В(х) на множестве Х.
В
нашем примере импликация
истинна. Тогда ее можно прочитать так:
1)
Из того, что
логически
следует,
что
.
2) Для того, чтобы натуральное число x делилось на 2 достаточно, чтобы оно делилось на 4.
3) Для того, чтобы натуральное число x делилось на 4 необходимо, чтобы оно делилось на 2.
Иногда говорят кратко: делимость на 2 – необходимое условие делимости на 4.
Замечание:
Если импликация
истинна на всей области определения,
т.е. истинно высказывание
,
то также говорят, что предикат В(х)
вступил в отношения логического следствия
с предикатом А(х).
Пусть
предикат А(х)
и предикат В(х)
заданы на множестве Х
и пусть их эквиваленция
истинна
на
всей области определения,
т.е. истинно высказывание
.
Это
значит, что
.
В
этом случае говорят, что предикаты А(х)
и В(х)
равносильны
на
множестве Х.
Это возможно только в том случае, когда
т.е.
.
Если
,
то это значит, что
«и»
Если
,
то это значит, что
-
«и»
т.е. предикаты А(х) и В(х) логически следуют друг из друга на множестве Х.
Для
понятия равносильности предикатов
используют знак ~:
~
Если предикаты равносильны, то в этом случае говорят, что они являются, необходимым и достаточным условием друг для друга.
Например:
На множестве N
заданы предикаты А(х):
и
В(х):
десятичная запись натурального числа
x
оканчивается цифрой 0. Тогда
Другими словами, эквиваленция:
.
Следовательно, предикаты А(х) и В(х) равносильные предикаты. Это значит:
для
того, чтобы натуральное число
необходимо и достаточно, чтобы десятичная
запись этого числа оканчивалась цифрой
0.
Выпишем, как читаются основные высказывания, связанные с отношениями логического следования и равносильности на русском и логическом языке:
|
На русском языке |
На логическом языке |
|
1) А достаточное условие для В. 2) А необходимое условие для В.
3) А необходимое, но не достаточное условие для В.
4) А достаточное, но не необходимое условие для В.
5) А необходимое и достаточное условие для В.
|
1)
2)
3)
4)
5)
|
- истинна.
- истинна.
Замечание: Необходимые и достаточные условия в математике называются признаками.