Математика

КУРС ЛЕКЦИЙ

1 курс

1-й семестр

РАЗДЕЛ I. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Лекция № 1- 5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.

Контрольные вопросы:

1. Математика как наука. Предмет и методы математики.

2. Основные этапы развития математики.

3. Общекультурные ценности математики.

4. Практическое применение математики.

5. Назначение учебного пред­мета «Математика» в подготовке учителя на­чальных классов. Математика в начальной школе.

6. Понятие множества. Элементы множества. Пустое множество. Способы задания множеств.

7. Отношения равенства, включения и пересечения между множествами. Круги Эйлера.

8. Пересечение множеств. Свойства пересечения двух и более мно­жеств.

9. Объединение множеств. Свойства объединения множеств.

10. Разность двух множеств, дополнение к подмножеству, дополнение к пересе­чению и объединению двух множеств.

11. Разбиение множества на попарно непересекающиеся подмножества (классы). Разбиение множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств.

12. Мощность множества. Число элементов в объединении двух (трех) конеч­ных множеств и в дополнении к подмножеству.

13. Связь с начальным курсом математики.

Литература: (1) гл. I, § 1 пп. 1-4; (2) гл. I, § 1, с. 6-9, 11-25; (3) гл. I, § 1 пп. 1-4; (4) гл. I, с. 31-36; (5) гл I, §§ 1.1-1.3; 1.5.- 1.7.

Основоположниками теории множеств являются Г. Кантор и Р. Дедекинд. Основным понятием этой теории является понятие «множество». Это первичное, неопределяемое понятие, т.е. ему нельзя дать определение через другие понятия. Для пояснения используются слова-синонимы: класс, совокупность, коллекция, группа, курс и другие.

Определение: Объекты произвольной природы, входящие во множество, называются его элементами.

Множества обозначают большими буквами латинского алфавита: A, B, C, D, ...,X, Y, Z. Элементы множества обозначают малыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, ...., x, y, z.

Элементами множества могут быть объекты любой природы. Сами множества также могут выступать в качестве элементов.

Запись a A означает: элемент a принадлежит множеству A.

Запись a A означает: элемент a не принадлежит множеству A.

Примеры:

A – множество групп студентов на 1 курсе CПФ 2011 г.

B – множество студентов на 1 курсе СПФ 2011 г.

С – множество студентов 1 группы 1 курса СПФ 2011 г.

Элементами множества A являются группы студентов 1 курса СПФ 2011 г. Элементами множества B являются студенты 1 курса СПФ 2011г. Элементами множества C являются студенты 1 группы 1 курса СПФ 2011 г.

Определение: Множества, элементами которого являются числа, называются числовыми.

Примеры:

N – множество натуральных чисел;

Z₀- множество целых неотрицательных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

J –множество иррациональных чисел;

R –множество действительных чисел.

15N; 0 Z; -5 Z₀; Q; J; -13,73 R.

Определение: Множества считаются заданными, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.

Существует два способа задания множеств: 1) перечислением элементов; 2) указанием характеристических свойств.

Свойства называются характеристическими, если этими свойствами обладают только элементы данного множества и только они.

Примеры:

1 способ задания множеств: X = {1; 2; a; c; m}.

Множество X задано перечислением элементов.

Читаем:

1 X ; 2 X ; a X ; c X ; m X ; 7X; yX

Условились, одинаковые элементы дважды не записывать и не перечислять, например, множество букв в слове «молоко»: М = {м, о, л, к}.

Способом перечисления элементов задаются, как правило, конечные множества.

2 способ задания множеств: A = {x| xR, (x-1)(x+2)=0}

Читаем: Множество A – это множество действительных корней уравнения:

(x-1)(x+2) = 0.

Элементы множества A обладают двумя свойствами: 1) являются действительными числами; 2) являются корнями уравнения (x-1)(x+2) = 0.

Множество A можно задать и первым способом. Для этого решим уравнение:

(x-1)(x+2) = 0. Корнями данного уравнения являются числа 1 и -2. Тогда A = {1; -2}={-2; 1}. Заметим, что порядок следования элементов во множестве значения не имеет.

Вторым способом записывают как конечные, так и бесконечные множества.

В математике рассматривают также множества, которые не содержат ни одного элемента. Такие множества называются пустыми и обозначаются Ø.

Примеры:

1) X – множество натуральных корней уравнения x+2=0, то есть

X = {x| xN, (x+2) = 0}

Корнем уравнения x+2=0 является x = -2. Однако -2N. Следовательно, данное уравнение натуральных корней не имеет. Тогда X = Ø.

2) Множество яблок на дубе также является пустым множеством.

Определение: Множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

A=B (читаем А равно В).

Примеры:

A = {-2; 1}, B = {1;-2}, X = {x| xR, (x-1)(x+2)=0}

Очевидно множества A, B, X состоят из одних и тех же элементов, значит A=B=X.

Определение: Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества B принадлежит множеству A.

Для обозначения подмножества используют знак:. Запишем определение в символическом виде: BAxBxA.

Примеры:

1) A = {-2;1}, B = {-2} Так как -2B и -2A, то BA.

AB (А не является подмножеством В), так как 1A, но 1B.

2) Рассмотрим числовые множества: N; Z; Z₀; Q; J; R

N Z₀; N Z; N Q; N R;

Z₀Z; Z₀ Q; Z₀ R;

JR.

В математике различают два вида подмножеств: собственные и несобственные. Само множество и пустое множество - это несобственные подмножества. Все остальные подмножества множества А (отличные от А и пустого множества) называются собственными подмножествами.

Пусть дано множество А = {1; 2; a;}. Его несобственные подмножества: А и Ø. Собственные подмножества: А={1}, А={2}, А={а}, А={1; 2}, А={1; а}, А={2; а}.Всего данное множество имеет 8 подмножеств.

Замечание: Число подмножеств множества А зависит от числа элементов в нем. Если множество содержит «п» элементов, то оно будет иметь 2подмножеств.

Теорема 1: Если множества A и B являются подмножествами друг друга, то они равны. (AB и BA, то A=B).

Проведем доказательство методом от противного.

Пусть AB. Это значит, что найдется хотя бы один элемент x, который принадлежит A, но не принадлежит B. Однако по условию теоремы AB, т.е., если xA, то обязательно принадлежит и B. Таким образом, в результате принятого допущения мы пришли к противоречию. Следовательно, A не может быть не равным B. Теорема доказана.

Замечание 1.: Из определения равных множеств, подмножества и теоремы 1 заключаем, что множества A и B равны тогда и только тогда, когда они являются подмножествами друг друга (A=B AB и BA).

Замечание 2.: Если при решении целого ряда задач используется одно и то же множество, то это множество называют универсальным.

Обозначение универсального множества: U или J.

Понятие универсального множества – понятие относительное. В курсе математики средней школы универсальным множеством является множество действительных чисел R, а в курсе начальной школы – множество целых неотрицательных чисел Z₀.

Для изображения самих множеств, отношений между ними пользуются кругами Эйлера-Венна.

Универсальное множество изображают в виде прямоугольника.

J

Между множествами могут существовать отношения 1) равенства; 2) включения; 3) пересечения.

Определение: Множества A и B находятся в отношении равенства, если они состоят из одних и тех же элементов (равны).

На диаграмме Эйлера-Венна отношение равенства множеств показывают так:

Определение: Множества A и B находятся в отношении включения, если одно из них является подмножеством другого.

На диаграмме Эйлера-Венна отношение включения множеств показывают так:

Определение: Множества A и B находятся в отношении пересечения, если существуют элементы, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B, но при этом обязательно найдутся элементы, которые принадлежат только множеству A и только множеству B.

На диаграмме Эйлера-Венна отношение пересечения множеств показывают так:

Примеры:

1) Пусть A = {-2;1}, B = {1;-2; 6}, X = {x| xR, (x-1)(x+2)=0}

Так как (-2A и -2B), и (1A и 1B), т.е. каждый элемент множества A принадлежит множеству B, то AB. Значит, множества A и B находятся в отношении включения.

Очевидно, что X = {x| xR, (x-1)(x+2) = 0}={1;-2}. Следовательно, A=X. Тогда X также, как и множество A, будет подмножеством B. Значит, множества A и X находятся в отношении равенства, а множества X и B в отношении включения.

Изобразим их на диаграмме Эйлера-Венна:

В качестве универсального множества здесь выступает множество R.

2) Пусть C = {x| xN, 36x}, D = {x| xN, 28x}

Зададим множества C и D перечислением элементов:

C = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}, D = {1, 2, 4, 7, 14, 28}. Очевидно, что множества C и D имеют общие элементы, т.е. элементы, которые одновременно принадлежат и множеству C и множеству D. Это элементы: 1; 2; 4. Но при этом существуют элементы, которые принадлежат только множеству C: 3; 6; 9; 12; 18; 36 и элементы, которые принадлежат только множеству D: 7; 14; 28.

Изобразим их на диаграмме Эйлера-Венна:

В качестве универсального множества здесь выступает множество N.

N

Определение: Объединением множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат хотя бы одному из данных множеств А или В.

АВ= {x| xA или xB}

Замечание: Принадлежать «хотя бы одному из множеств» - это значит принадлежать только одному или одновременно двум, трем и более множествам.

Рассмотрим множества А и В. Покажем на диаграмме объединение этих множеств. Пусть:

1) множестваА и В не вступают в отношение друг с другом.

A

B

2) множества А и В находятся в отношении равенства.

Тогда АВ=А=В

A=B

3) множества А и В находятся в отношении включения.

Если АВ, то АВ=В, если ВА, то АВ=А.

A

B

B

A

4) множества А и В находятся в отношении пересечения.

B

A

Штриховкой показано множество элементов, принадлежащих АВ.

Примеры:

1) Пусть А = {3; а; b}, B = {1; 3; 7}. Найдем АВ.

По определению объединения во множество АВ войдут только те элементы, которые есть хотя бы в одном из множеств А или В. Значит, АВ = {1; 3; 7; а; b}.

2) A = N, B = {1; 3; 7}. Найдем АВ.

Очевидно, чтоBA. Тогда АВ = A = N. Покажем штриховкой элементы АВ на диаграмме:

3) A = N, B= {-3; 0; 1} Найдем АВ.

Множества А и В находятся в отношении пересечения, так как у них есть общие элементы (x = 1), а также элементы, принадлежащие только В (x = -3; x = 0) и элементы, принадлежащие только А (все натуральные числа, кроме 1, которая входит также во множество В). Тогда АВ = NВ = {x|xN или xB}. Покажем штриховкой элементы АВ на диаграмме:

Таким образом, по определению x АВ xA или xВ. Это значит, что

Замечание: Здесь союз «ИЛИ» понимается не в разделительном, а в объединительном смысле, т.е. элемент х принадлежит объединению множеств А и В тогда, когда он принадлежит только множеству А или только множеству В или и множеству А и множеству В одновременно.

В объединение множеств А и В не войдут те элементы, которые не входят ни в А, ни в В. Таким образом, x АВ xA и xB.