Приложения неравенства Фейера-Рисса в комплексном анализе. Изучение свойств конформно отображающих функций. Области, ограниченные спрямляемой жордановои кривой

Рассмотрим теперь область , G ограниченную спрямляемой жордановой кривой.

Пусть Ф— конформное отображение единичного круга на G — область, ограниченную жордановой спрямляемой кривой Г

По теореме Каратеодори Ф обладает непрерывным взаимно-однозначным продолжением вплоть до {|r|= 1} и отображает эту окружность на Г. По­этому ясно, что если [e^iθ0, e^iθ1,,…, e^iθp] — разбиение окруж­ности {| r | = 1}, то [Ф(e^iθ0), Ф(e^iθ1,),…, Ф(e^iθp)] — разбиение кривой Г.

1° Производная конформного отображения принадлежит классу н1

Теорема .

Доказательство

Пусть ε= e^2πi/n. Тогда функция

является субгармонической в {|r|<1}; она непрерывна для |z|<1 в силу непрерывности Ф(z). Поэтому, по принципу максимума, при |z|<1

Нo если |ζ|= 1 то точки

[Ф(ζ), Ф(ε^п ζ ),…, Ф(ε^пζ)]

образуют разбиение кривой Г; следовательно, по определению длины кривой

S(ζ)≤длина Г. Теперь зафиксируем r<1. Мы имеем

Итак, если |z|<1, то S(z)<длина Г. Теперь зафиксируем r< 1. Мы имеем

длины Г< ∞.

Устремляя n к бесконечности и используя непрерывность функции Ф'(rе'^е) по θ для r< 1, получаем в пределе

длины Г

поскольку это выполняется для всех r<.1, то

Образы множеств меры нуль на единичной окружности

Если А — дуга кривой Г, то Ф взаимно-однозначно отображает некоторую дугу j окружности {|z|=1} на Ʌ. Само определение длины дуги теперь нам дает

Теорема (Ф. и М.. Риссы). Если. j — дуга единичной окружности и = Ф(j),то

Доказательство.

По теореме предыдущего подпункта , поэтому

при r→1

Пусть Т(θ) — непрерывно дифференцируемая 2π-периидичеекая функция. Интегрируя по частям, находим

Но при любом r< 1

Правая часть этого равенства по замечанию, желанному вначале, стремится к Итак,

б о

какова бы ни была 2π-периодическая непрерывно дифферен­цируемая функция Т. Пусть теперь , а— рав­номерно ограниченная последовательность таких функций, сходящаяся к единице в (0,θ₀) и к нулю в [0, 2π] \(0,θ₀). Подставляя Т_п вместо Т в последнее равенство и переходя к пределу, по теореме Лебега получаем

Следовательно,

Теорема доказана,

Длина дуги кривой Г может быть очевидным образом использована для определения линейной меры на Г. Сначала пусть Ơ — (относительно) открытое подмножество Г тогда Ơ есть счётное объединение попарно Heпepeceкающихся открытых дуг Ʌ_k, и мы положим |Ơ|=длина Ʌ_k. Для произвольного подмножества определим|E| как inf {|Ơ|: Ơ , Ơ открыто в Г}. Так как Ф — гомеоморфное отображение окружности {|z|= 1} на Г, то легко показать, основываясь на вышеприведенной теореме, что

борелевсках множеств Е на единичной окружности. Имеет место следующий важный результат:

Теорема (Ф. и М. Риссы). Если Е - подмножество единичной окружности и {|z|= 1}, то |Ф(Е)| = 0.

Доказательство.

Пусть — открытые множества на {|z|= 1}, такие чтоТогда |Ф(Е)|≤|Ф(Ω_п) | для всех n. Но из предыдущей тео­ремы н следующего за ней обсуждения вытекает, что

этот интеграл стремится к нулю при так каки.