1 Свойства суммируемости гармонических функций, заданных формулой Пуассона
Сначала получим некоторые грубые результаты, достаточные для многих рассмотрений.
Ядро Пуассона
обладает следующими свойствами:
а) Рr(φ)>0, r< 1;
b) Рr(φ+2π)= Рr(φ)
с)
для
любого r<1.
Свойства а) и b) очевидны, а с) следует из разложения в ряд для Pr(φ).
Если
то
удобно
считать, что функция F
периодически
продолжена на всё множество R:
F(t+2π)=F(t).
Отныне
будем это предполагать.
Теорема.
Если p≥l,
,
a
,
то
функция U(z)
— гармоническая в круге {|z|<1}
Доказательство.
Пусть
.
Тогда
для 0 ≤r
< 1 имеем
Непосредственно проверяется, что функция U(z) гармонична в {|r|< 1}, так как ряд сходится равномерно во внутренности круга. (Если функция F—вещественная, то ряд, очевидно, является вещественной частью аналитической функции, которая легко выписывается.)
Для данного r < 1 в силу свойства b) и 2π-периодичности функции F мы можем, кроме того, записать
.
Возьмём
теперь
,||G||q=1,
так что (для любого фиксированного r;
функция G,
конечно,
будет зависеть от r)
.
По теореме Фубини интеграл справа равен
что по модулю не превосходит
(в силу выбора G и свойства с)).
Наконец,
что и требовалось доказать
Теорема. Пусть μ — конечная вещественная мера на [-π,π]. Тогда функция
гармонична в {|r|< 1} и
.
Доказательство.
Гармоничность
устанавливается так же, как и выше. Пусть
дано r,
и пусть функция
,
=
1, такова, что
-п
Интеграл в правой части по теореме Фубини равен
и в силу а)—с) по модулю не превосходит
Вот и всё.
2° Первоначальное изучение граничного поведения
Ядро Пуассона Рr(θ) обладает и четвертым свойством:
d) Для любого σ > О, Рr(θ)→0 равномерно для σ≤│θ│≤π при r→1.
Это сразу следует из формулы для Рr(θ).
Теорема. Пусть функция F непрерывна на R и F(t+2π)=F(θ). Пусть
Тогда
U(z)→F(φ),
когда
,
и сходимость равномерна по φ.
Доказательство.
Этот результат восходит к самому Пуассону, который полагал, что отсюда вытекает сходимость ряда Фурье функции к ней самой (на самом деле из теоремы это не следует!). Запишем
Для заданного произвольного числа <р мы имеем по свойству с)
Следовательно,
Пусть
таково,
что |F(s)—
F(φ)|<
ε при |s
— φ|<2ϭ;
число ϭ здесь зависит только от ε, а не от φ, из-за (равномерной!) непрерывности функции F.
Запишем интеграл в правой части в виде суммы двух:
Если |θ-φ|<
ϭ то первый интеграл справа не превосходит
Tb М — верхняя грань величины |F(t)|. Тогда второй интеграл не превосходит
,
что меньше ε, если r достаточно близко к 1, в силу свойства d).
Таким
образом, 
,если
|θ-φ|<
ϭ, а r
достаточно
близко к 1.
Q. E. D.
Замечание.
Свойства a),
b),
с) и d)
вместе взятые показывают, что
представляет собою так называемую
аппроксимативную
единицу. Доказанная
теорема имеет место в силу этих свойств:
не только для ядра Пуассона, но и для
других ядер, являющихся аппроксимативными
единицами, справедливы аналогичные
результаты.
Теорема.
Пусть
пусть функция F[t)
непрерывна
в точке θ0.
Тогда
стремится
к
F(θ0)
при стремлении reiθ
к
eiθ
Доказательство такое же, как у предыдущей теоремы.
Теорема.
Пусть
,
1≤ р
<
∞ , и пусть
.
Тогда
,
т.е. стремится кF(G)
в А"-норме при r→
1.
Доказательство.
Положим Fr(θ) = U(re1θ). Тогда
Используя
свойства а) и с) (мы рассматриваем 
как
предел выпуклых комбинаций функций 
.
считая t
параметром,
а θ — переменной), имеем по очевидному
обобщению неравенства треугольника
.
Полагая
получим
Но
при
0. Это так, потому что сдвиг непрерывен
вLP-норме
для 1≤р <∞. Это следует в свою очередь
из элементарных фактов теории функций
вещественной переменной. Действительно,
пусть даны
)
и
ε > 0. Найдем непрерывную функцию G,
периодическую
с периодом 2π,
такую
что ||F
— G||p<ɛ.
Тогда,
очевидно,
для |t|<ϭ при достаточно малых σ в силу равномерной непрерывности; следовательно,
для
|t|<σ.
Во всяком случае, функция Ф(t) непрерывна в 0, где она равна нулю.
Поэтому,
по предыдущей теореме,
приr→∞.
Q.
E.
D.
При р = ∞ все, что мы имеем, — это ω*-сходимость:
Теорема.
Если
и
,
то
приr→1
Доказательство.
Возьмём
произвольную функцию
Нужно
доказать, что
при
r→1.
Но это так, потому что (используем
чётность
)
стремится
к G(t)
при
r→1
по предыдущей теореме. Остаётся только
применить теорему Фубини.
Аналогично справедлива
Теорема.
Пусть
где
μ
— конечная
вещественная мера на [-π,π]. Тогда
приr→1,
т. е. для любой непрерывной функции G(θ),
периодической с периодом 2π,
когда r→1
Доказательство.
Применяем теорему Фубини вместе с первым результатом этого подпункта.
Лекция 3
Формула Коши-Грина и ее обобщение в случае единичного круга.