4. Понятия функциональной, статистической и корреляционной связи

Определение 11.3. Функциональная зависимость между двумя переменными величинами характеризуется тем, что каждому значению одной из них соответствует вполне определенное (причем единственное!) значение другой.

Например, между радиусом круга и его площадью существует функциональная зависимость, которая выражается формулой. Однако на практике часто встречаются и такие виды связей между величинами, которые нельзя отнести к функциональным зависимостям. На существование таких связей, зависимостей указывал уже Гиппократ в 6 веке до нашей эры. Именно он обратил внимание на наличие связи между телосложением и темпераментом людей, между строением тела и предрасположенностью к тем или иным заболеваниям.Помимо функциональных существуют и т.н. статистические или стохастические (случайные) зависимости.

Определение 11.4. При статистической зависимости изменение одной переменной приводит к изменению распределения другой.

Например, статистической является связь между урожайностью и количеством внесенных удобрений, между ростом и весом человека и др.

Определение 11.5. Статистическую зависимость называют корреляционной, если каждому значению одной переменной соответствует определенное условное математическое ожидание другой.

Понятие «условное математическое ожидание» возникает тогда, когда мы используем подход, при котором одна из величин (независимая) является причиной изменения другой величины (зависимой). Однако такая зависимость не является однозначной в том смысле, что каждому конкретному значению объясняющей переменной (или набору объясняющих переменных) может соответствовать не одно, а множество значений из некоторой области. Другими словами, каждому конкретному значению объясняющей переменной (или набору объясняющих переменных) соответствует вероятное распределение зависимой переменной. Поэтому анализируют как объясняющая переменная (или переменные) влияет на зависимую переменную «в среднем», т.е. записывают формулу для нахождения математического ожидания величины при данном значении величины(такое математическое ожидание называетсяусловным, т.к. находится при условии, что величина Х примет какое-то конкретное значение ). Зависимость такого типа, выражаемая соотношением, называетсяфункцией регрессии Y на Х.

Уравнение регрессии в общем виде можно записать следующим образом:

(11.12)

–величина, обусловленная случайными факторами.

Корреляционная связь не является точной зависимостью одного признака от другого: она может иметь различную степень: от полной независимости до очень сильной связи. Кроме того, характер связи между разными признаками может быть различен по форме и направлению. По форме корреляция может быть прямолинейной и криволинейной, по направлению – прямой (или положительной) и обратной (или отрицательной). Степень корреляции определяется различными показателями, введенными для установления силы связи между количественными признаками.

Между криминогенными факторами и преступностью существует прямая корреляционная связь. Например, чем выше уровень алкоголизации в обществе, тем выше преступность. Между факторами антикриминогенными и преступностью действует обратная корреляционная зависимость. Например, чем выше социальный контроль в обществе, тем ниже преступность.

5. Непараметрические методы оценки статистической связи

В статистической практике приходится сталкиваться с задачами измерения связи между качественными признаками, к которым параметрические методы анализа в их обычном виде неприменимы. Статистической наукой разработаны методы, с помощью которых можно измерить связь между явлениями, не используя при этом количественные значения признака, а значит, и параметры распределения. Такие методы получили название непараметрических методов оценки связи. Рассмотрим некоторые из них.

1) Для оценки тесноты зависимости между качественными признаками, каждый из которых представлен в виде альтернативных признаков, используют коэффициент ассоциации К_ас и коэффициент контингенции К_кон.

Для определения этих коэффициентов создается расчетная таблица (таблица «четырех полей»), где статистическое сказуемое схематически представлено в следующем виде:

Признаки	(да)	(нет)	Итого:
(да)
(нет)
Итого:

Здесь – частоты взаимного сочетания (комбинации) двух альтернативных признакови;– общая сумма частот. Коэффициент ассоциации можно рассчитать по формуле:

. (11.13)

Коэффициент контингенции рассчитывается по формуле:

. (11.14)

Для одних и тех же данных коэффициент контингенции (изменяется от -1 до +1) всегда меньше коэффициента ассоциации. Связь считается подтвержденной, еслиили.

2) В социальных исследованиях нередко встречаются случаи, когда коррелирующие признаки выражаются не числами, а знаками: наличие признака – знаком плюс, отсутствие – знаком минус.

В таких случаях для измерения корреляции используется формула:

, (11.15)

где – число совпадений положительных знаков в общей серии испытаний, отнесенное к их числу, т.е.;– частости положительных знаков для каждого признака отдельно. Коэффициент корреляции знаков изменяется от 0 до 1. Чем сильнее связь между признаками, тем этот показатель ближе к единице.

3. Коэффициенты оценки связи качественных признаков, представленных несколькими градациями.

Если необходимо оценить тесноту связи между качественными признаками, которые могут принимать любое число вариантов значений, применяется коэффициент взаимной сопряженности Пирсона ().

Для исследования такого рода связи первичную статистическую информацию располагают в форме (многопольной корреляционной) таблицы:

Признаки				Итого:
Итого:				Число пар наблюдений

Здесь – частоты взаимного сочетания двух атрибутивных признаков.Коэффициент взаимной сопряженности или полихорический показатель связи, предложенный Пирсоном, определяется по формуле:

, (11.16)

где – показатель (взаимной) среднеквадратической сопряженности:

, (11.17)

Коэффициент взаимной сопряженности изменяется от 0 до 1. Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона имеет один большой недостаток: его значение существенно зависит от количества вариант коррелируемых качественных признаков. Этого недостатка лишен коэффициент взаимной сопряженности Чупрова А.А.:

, (11.18)

где – число групп первого и второго признаков (по каждому из признаков).