3. Интервальная оценка генеральной средней

Таким образом, при извлечении из генеральной совокупности с параметрами ивыборки большого объема выборочная средняяподчиняется нормальному закону.

Очевидно, что тем точнее определяет параметр, чем меньше абсолютная величина разности. Другими словами, еслии, то чем меньше, тем оценка точнее. Таким образом, положительное числохарактеризует точность оценки и называется предельной ошибкой. Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценкаудовлетворяет неравенству; можно лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.

Определение 11.1. Надежностью (доверительной вероятностью) оценки называют вероятность , с которой осуществляется неравенство. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качествеберут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Принцип практической уверенности «Если какое-нибудь событие имеет малую вероятность (например, меньше 0,01), то при единичном испытании можно практически считать, что это событие не произойдет, а если событие имеет вероятность близкую к единице (например, больше 0,99), то практически при единичном испытании можно считать, что это событие произойдет наверняка.

Определение 11.2. Уровень значимости – это максимальная вероятность ошибки, которой можно пренебречь в данной задаче это вероятность того, что неравенствоне будет выполняться. Уровень значимости связан с надежностью следующим соотношением:

(11.5)

Пусть вероятность того, что равна. Поскольку выборочное распределение среднихподчиняется нормальному закону, то вероятность того, что выборочная средняя по абсолютной величине не превысит значениябудет равна. Заменивна, получим:

(11.6)

где . Отсюда предельная ошибка будет равна:

(11.7)

Данная формула – для повторного отбора. Если сбор информации организован по методу бесповторного отбора, то предельная ошибка рассчитывается по формуле:

(11.8)

Здесь – объем генеральной совокупности. Доверительный интервал для генеральной средней:

(11.9)

Отметим, что число определяется из равенства, или; по таблице функции Лапласа находят аргумент, которому соответствует значение функции Лапласа, равное.

При извлечении из генеральной совокупности выборок равного объема увеличение уровня надежности приводит к увеличению доверительного интервала. Для 100%-го уровня надежности доверительный интервал – . Для получения по возможности узкого интервала при сохранении высокого уровня надежности необходимо увеличить объем выборки. Интуитивно понятно, что чем больше информации, тем меньше неопределенность и больше точность.

Рис. 11.1. 1 – нормальная кривая, 2 – кривая распределения Стьюдента.

При больших выборках, когда , еслинеизвестно, то его можно заменить выборочным среднеквадратическим отклонением. Однако привыборочное распределение средних при такой замене будет описываться распределением Стьюдента (см. рис. 11.1). В этом случае предельная ошибка для повторного отбора рассчитывается по формуле:

(11.10)

Здесь – исправленное среднеквадратическое отклонение,– критерий Стьюдента, который определяется по специальным таблицам с помощью двух чисел: уровнем значимостии числом степеней свободы(– число зависимых переменных).

Формула для расчета предельной ошибки в случае малой выборки, когда сбор информации организован по методу бесповторного отбора:

(11.11)

Пример 11.1. Случайная величина имеет нормальное распределение с известным параметром. Сделана случайная выборка объёма. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожиданияпо выборочным средним, если задана надёжность оценки.

Решение:

Найдём . Из отношенияполучим. По таблице находим. Предельная ошибка равна:. Доверительный интервал:. Таким образом,.

Это означает, что с вероятностью 95% можно быть уверенным в том, что доверительный интервал накроет параметр , или с вероятностью 95% быть уверенным в том, что вычисленное по выборке среднеедаёт значение параметрас точностью 0,98.