Математика и информатика. Часть I. Курс лекций. Алпатов А. В.

Лекция № 11 интервальная оценка генаральной средней. Статистическая связь

План

1. Закон больших чисел

2. Выборочное распределение средних

3. Интервальная оценка генеральной средней

4. Понятия функциональной, статистической и корреляционной связи

5. Непараметрические методы оценки статистической связи

1. Закон больших чисел

Основной закономерностью массовых случайных явлений является свойство устойчивости средних результатов.

В широком смысле слова под «законом больших чисел» понимают известное с глубокой древности свойство устойчивости массовых случайных явлений. Это свойство состоит в том, что средний результат действия большого числа случайных явлений практически перестает быть случайным и может быть предсказан с достаточной определенностью. Оно вытекает из того, что индивидуальные особенности отдельных случайных явлений, их отклонения от среднего результата в массе свей поглощаются, выравниваются.

В узком смысле слова под «законом больших чисел» понимают совокупность теорем, в которых устанавливается факт приближения средних характеристик к некоторым постоянным величинам в результате большого числа наблюдений.

Формулировка закона больших чисел, развитие идеи и методов доказательства теорем, относящихся к этому закону, принадлежат русским ученым П.Л. Чебышеву, А.А. Маркову и А. М. Ляпунову.

Теорема Чебышева (частный случай). При неограниченном увеличении числа независимых испытаний средняя арифметическая наблюдаемых значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию, т.е. для любого положительного:

(11.1)

2. Выборочное распределение средних

Будем осуществлять испытания по схеме повторной выборки. Взяв наудачу один элемент из генеральной совокупности, мы фиксируем значения признака, возвращаем выбранный элемент в генеральную совокупность и затем выбираем наудачу следующий элемент. Этот процесс мы повторяем до получения значений, представляющих случайную выборку объема. Обозначим значения признака у первого выборочного элемента через, у второго – через, …, уго – через. Представим, что из генеральной совокупности объемапроизведены всевозможные выборки объема, и для каждой выборки рассчитаны выборочные средние. Естественно ожидать, что выборочные средние могут отличаться друг от друга, т.е. выборочную среднюю можно считать случайной величиной. Таким образом, полученные значенияможно представить в виде ряда распределения выборочных средних и рассчитать среднее значение для этого распределения.

Любое распределение, полученное из выборочных характеристик, называется выборочным распределением. Когда мы строим распределение выборочных средних, то называем его выборочное распределение средних .

Теоретической основой выборочного метода служит закон больших чисел и центральная предельная теорема Ляпунова. Из теоремы Ляпунова следует, что если генеральная совокупность подчиняется нормальному закону распределения, то и выборочное распределение также подчиняется закону нормального распределения, а, согласно следствию из этой же теоремы, при достаточно большом объеме выборки распределение выборочных средних также будет подчиняться близкому к нормальному закону распределения, независимо от того, какой закон распределения имеет генеральная совокупность.

Поскольку – независимые одинаково распределенные случайные величины, то все случайные величиныимеют один и тот же закон распределения вероятностей и одинаковые числовые характеристики – математическое ожидание и дисперсию.

Математическое ожидание выборочной средней равно генеральной средней исследуемой совокупности :

(11.2)

Дисперсию выборочной средней можно представить:

(11.3)

Отсюда среднее квадратическое отклонение выборочной средней равно:

(11.4)