2. Биномиальное распределение

Ранее в лекции №7 мы рассмотрели формулу Бернулли, которая позволяет рассчитать вероятность того, что интересующее нас событие при испытаниях произойдет ровнораз. При этом предполагалось, что вероятность однократного появления данного события не меняется от опыта к опыту.

Используя формулу Бернулли, можно задать случайную величину – число появления данного события прииспытаниях.

Пусть вероятность однократного появления события рана, следовательно, вероятность неудачи. Число испытаний. Рассчитаем вероятности появления данного события,,,,,и составим таблицу:

	0	1	2	3	4	5
	1/32	5/32	10/32	10/32	5/32	1/32

Рис. 9.1.

Построим многоугольник распределения данной случайной величины (рис. 9.1).

Распределение величины называетсябиномиальным распределением с параметрами и. Известно, что если случайная величинаимеет биномиальное распределение, то ее математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение вычисляются по следующим формулам:

3. Нормальное распределение

Множество явлений и процессов, которые происходят в мире можно описать с помощью так называемого нормального распределения. Например, распределение высоты деревьев, массы людей, числа преступлений и т.д.

Рассмотрим биномиальное распределение, которое описывается с помощью формулы Бернулли:

Рис. 9.2. Биномиальное распределение с , увеличивающимся числом испытаний.

Пусть , а число испытаний равно(рис. 9.2).

Из рисунка видно, что происходит изменение формы кривой, огибающей верхние концы ординат, в зависимости от числа испытаний. При достаточно большом эта кривая с определенной степенью точности приближается к кривой, называемой плотностью нормального распределения. График ее – колоколообразная кривая.

Таким образом, нормально распределенная случайная величина есть непрерывная случайная величина и график ее плотности является пределом дискретного биномиального распределения случайной величины, когда число испытаний неограниченно возрастает.

Нормальное распределение проявляется не только как предел биномиального распределения. Законы распределения многих случайных величин, наблюдаемых в природе и общественной жизни, при выполнении определенных условий приближаются именно к нормальному закону распределения.

Нормальная случайная величина имеет плотность распределения, определяемую формулой:

(9.19)

где переменная принимает значения в интервале,– математическое ожидание,– среднеквадратическое отклонение.

Свойства функции :

1) Нормальная кривая распределения расположена выше оси абсцисс.

2) При неограниченном возрастании по абсолютной величинестремится к нулю, значит, ось абсцисс служит горизонтальной асимптотой кривой нормального распределения.

3) Максимальное значение функция принимает в точке, соответствующей математическому ожиданию случайной величины. При этом.

4) Кривая симметрична относительно прямой.

5) Кривая нормального распределения имеет две точки перегиба, симметрично расположенные относительно прямой :

и (9.20)

Изменение параметра при неизменномприводит к перемещению оси симметрии () вдоль оси абсцисс и, следовательно, – к соответствующему перемещению кривой распределения. Изменение среднего квадратического отклонения при фиксированном значении математического ожидания приводит к изменению формы кривой распределения. С уменьшениемвершина кривой распределения будет подниматься, кривая будет более островершинной (вытянутой вдоль оси симметрии). С увеличениемкривая распределения менее островершинна и более растянута вдоль оси абсцисс.

Одновременное изменение параметров иприведет к изменению и формы, и положения кривой нормального распределения. Нормальное распределение будем обозначать следующим образом:. На рис. 9.3 изображено нормальное распределение.

Нормальный закон распределения с параметрами иназывается стандартным или нормированным и обозначается:

(9.21)

Значения функции рассчитаны для всех аргументов и сведены в таблицу, которую можно найти в различных справочниках и учебниках по теории вероятностей и математической статистики.

Свойства функции:

1. функция четная;

2. с увеличением аргумента по абсолютной величине,монотонно убывает и приимеет прелом нуль;

3. при , при, поэтому приможно считать, что. В связи с этим таблицы ограничены значениями функциидля аргументовили.

4. Максимальное значение функции принимает прии равно.

Любая нормально распределенная случайная величина может быть преобразована в стандартную нормально распределенную случайную величину.

Сравнивая формулы (9.16) и (9.18), можно сделать вывод, что плотность случайной величины, распределенной по нормальному закону, можно записать так:

(9.22)

Математическое преобразование случайной величины в, распределенную по стандартному нормальному закону достигается вычитаниемиз, а затем делением результата на:

(9.23)

Определение 9.6. Функция распределения случайной величины , распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласапо формуле:

(9.24)

(9.25)

–функция Лапласа (рис.9.4). Эта функция табулирована. Вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, на отрезок равна:

(9.26)

(интегральная формула Муавра-Лапласа), где ;

; (9.27)

Вероятность того, что отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания не превысит величину(по абсолютной величине), равна:

(9.28)

где .

Иногда в таблицах приводится функции Лапласа следующего вида:

(9.29)

Тогда для нахождения вероятности попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, на отрезок необходимо воспользоваться формулой:

(9.30)