Математика и информатика. Часть I. Курс лекций. Алпатов А. В.

Лекция № 9 нормальный закон распределения случайной величины

План

1. Числовые характеристики случайных величин

2. Биномиальное распределение

3. Нормальное распределение

1. Числовые характеристики случайных величин

Если рассматривать не одну, а две и более случайных величин, то необходимо знать, изменяется или не изменяется закон распределения одной из них в зависимости от того, какое значение принимают другие случайные величины.

Определение 9.1. Если закон распределения одной случайной величины не зависит от того, какие возможные значения приняли другие случайные величины, та такие случайные величины называются независимыми в совокупности.

Определение 9.2. Если закон распределения одной случайной величины зависит от того, какие возможные значения приняли другие случайные величины, та такие случайные величины называются зависимыми в совокупности.

Закон распределения, как известно, исчерпывающим образом описывает распределение вероятностей случайной величины. Однако часто закон распределения неизвестен или при решении практических задач необязательно знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности. В этом случае используют некоторые количественные показатели, которые в компактной форме позволяют отразить существенные особенности случайной величины.

Эти показатели случайной величины, являющиеся не функциями, а числами, называют числовыми характеристиками случайной величины. Их назначение – в сжатой форме выразить наиболее важные черты распределения. К таким числовым характеристикам относятся математическое ожидание, дисперсия, моменты различных порядков, среднеквадратическое отклонение и т.д. Рассмотрим важнейшие числовые характеристики и изучим их свойства.

1. Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Определение 9.3. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

(9.1)

Математическое ожидание обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

(9.2)

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

(9.3)

Свойство 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

(9.4)

Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

(9.5)

Свойство 5. Если каждое значение случайной величины увеличить или уменьшить на одно и то же число, то математическое ожидание увеличится или соответственно уменьшится на:

(9.6)

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание определяется по формуле:

(9.7)

2. Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служит дисперсия.

Определение 9.4. Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

(9.8)

Используя свойства математического ожидания формулу (9.8) можно преобразовать к виду:

(9.9)

Для дискретной случайной величины удобно использовать формулу:

(9.10)

Дисперсия обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Дисперсия – это неотрицательная величина:

(9.11)

Свойство 2. Дисперсия постоянной равна нулю:

(9.12)

Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

(9.13)

Свойство 4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

(9.14)

Свойство 5. Если каждое значение случайной величины увеличить или уменьшить на одно и то же число, то дисперсия не изменится:

(9.15)

Для непрерывной случайной величины дисперсия определяется по формулам:

(9.16)

или:

(9.17)

Здесь – математическое ожидание.

3. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину .

Определение 9.5. Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

(9.18)

Данная формула используется и для дискретных случайных величин и для непрерывных.