МиИ.1 / Лекции / Лекция№8

Математика и информатика. Часть I. Курс лекций. Алпатов А. В.

ЛЕКЦИЯ №8

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

План

1. Определение случайной величины

2. Интегральная функция распределения случайной величины

3. Плотность распределения вероятностей

1. Определение случайной величины

Определение 8.1. Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно, заранее неизвестно).

Представим себе, что производится испытание, в результате которого происходит одно из несовместных событий . Пусть каждому исходу испытания поставлено в соответствие некоторое действительное число . В этом случае говорят, что задана случайная величина .

Пример 8.1. Бросается игральный кубик. Случайная величина – выпавшее число очков: .

Определение 8.2. Дискретная случайная величина – величина, все значения которой могут быть пронумерованы.

Определение 8.3. Непрерывная случайная величина – величина, все значений которой сплошь заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал.

Пример 8.2. – число преступлений в течение суток в Волгограде – дискретная случайная величина. – время, в течение которого спортсмен пробежал дистанцию 100 м – непрерывная случайная величина.

Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является ее закон распределения.

Определение 8.4. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблице, аналитически (в виде формул) и графически. Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица:

			…
			…

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины. Для любой случайной величины:

(8.1)

Если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, по оси ординат – соответствующие их вероятности, то получаемая ломанная, которая называется многоугольником или полигоном распределения вероятностей (рис.8.1).

Пример 8.3. В партии из восьми деталей пять стандартных. Наудачу взяты четыре детали. Построить ряд и многоугольник распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

Решение:

Пусть X – число стандартных деталей среди четырех отобранных. Оно может принять следующие четыре значения: , , , . Вероятности этих значений равны:

, , , .

Складывая полученные вероятности, имеем:

.

	1	2	3	4

Закон распределения непрерывной случайной величины можно задать в виде некоторой формулы .

Пример 8.4. Нормальный закон распределения:

, (8.2)

2. Интегральная функция распределения случайной величины

При анализе различных социальных процессов определенный смысл имеют накопительные (кумулятивные) вероятности случайных величин. Например, нас может интересовать вероятность того, что число проданных единиц некоторого товара окажется не меньше некоторого определенного числа, гарантирующего прибыль продавцу. Или, например, число дорожно-транспортных происшествий не окажется выше определенного значения. Зная закон распределения дискретной случайной величины, можно составить функция накопленных вероятностей .

Определение 8.5. Функция распределения случайной величины называется функция , выражающая для каждого вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее :

(8.3)

Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как дискретных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, то есть является одной из форм закона распределения.

Свойства функции распределения:

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулями и единицей:

(8.4)

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси, т.е. при :

(8.5)

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, а на плюс бесконечности равна единице, т.е.:

; (8.6)

4. Функция – неубывающая.

5. Вероятность попадания случайной величины в полуинтервал равна приращению ее функции распределения на этом полуинтервале, т.е.:

(8.7)

6. Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Поэтому справедливы следующие равенства:

Из этого свойства вытекает, что нулевой вероятностью могут обладать и возможные события. Другими словами, появление любого отдельного значения случайной величины является возможным событием, несмотря на то, что вероятность его появления равна нулю. Данное свойство отражает, по сути, тот факт, что число возможных значений данной случайной величины бесконечно.

Зная ряд распределения, можно построить функцию распределения случайной величины:

при ;

при ;

при;

при

… … … … … … … … … … … … … … … … … … ... … … … …

при

.

Для дискретной случайной величины график представляет собой разрывную ступенчатую линию. По мере возрастания числа возможных значений случайной величины с одновременным уменьшением величины интервалов между ними число скачков становится больше, а сами скачки – меньше, вследствие чего ступенчатая кривая становится более плавной. Если случайная величина непрерывная, функция распределения – кусочно-непрерывная функция.

Пример 8.5. Построим функцию распределения случайной величины – число стандартных деталей среди четырех отобранных, рассмотренной в примере 8.3.

Решение:

Случайная величина не принимает значений меньших 1. Следовательно, если , то событие – невозможно, а вероятность его равна нулю. Поэтому функция распределения случайной величины для всех значений также равна нулю.

Для всех , удовлетворяющих двойному неравенству , функция означает вероятность события . Но случайная величина принимает значение, меньшее 2, лишь в одном случае: значение 1 с вероятностью 1/14.

Для всех , удовлетворяющих двойному неравенству , . Пусть, например, . Тогда выражает вероятность события . Это возможно в двух случаях: или случайная величина принимает значение1 (с вероятностью 1/14), или значение 2 (с вероятностью 6/14).

Для всех , удовлетворяющих двойному неравенству , .

Для всех , удовлетворяющих неравенству , . Таким образом, функция распределения случайной величины имеет следующий вид:

На рис. 8.2. приведен график данной функции.

Рис. 8.2.

3. Плотность распределения вероятностей

Определение 8.6. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек.

Определение 8.7. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения:

(8.8)

Часто вместо термина «плотность распределения» используют термины «плотность вероятностей» и «дифференциальная функция распределения случайной величины».

Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины называется кривой распределения.

Из математического анализа известно, что приращение функции приближенно равно дифференциалу функции . Запишем это приближенное равенство для функции .

или . Так как и , то

Это равенство означает, что вероятность попадания значения случайной величины X в интервал приближенно равна произведению плотности вероятности в точке x на длину интервала . Геометрически это есть площадь прямоугольника с основанием и высотой (рис.8.3). Величину называют элементом вероятности.

Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины:

1. Плотность вероятности – неотрицательная функция, т.е. .

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервале равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от до , т.е.:

(8.9)

3. Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле:

Рис. 8.3.

(8.10)

4

Рис. 8.3.

. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице:

(8.11)

Контрольные вопросы

1. Понятие случайной величины. 2. Дискретная и непрерывная случайная величина. 3. Закон распределения случайной величины. 4. Способы задания закона распределения случайной величины. 5. Полигон распределения вероятностей. 6. Понятие функции распределения дискретной случайной величины . 7. Свойства функции . 8. Плотность распределения вероятности случайной величины . 9. Свойства плотности вероятности .

5