5. Эмпирическая функция распределения

Как известно, закон распределения случайной величины можно задавать различными способами. Дискретную случайную величину можно задать с помощью ряда распределения или интегральной функции, а непрерывную случайную величину – с помощью или интегральной, или дифференциальной функции. Рассмотрим выборочные аналоги этих двух функций.

Пусть имеется выборочная совокупность значений некоторой случайной величины объемаи каждому варианту из этой совокупности поставлена в соответствие его частость. Пусть далее,– некоторое действительное число, а– число выборочных значений случайной величины, меньших.Тогда числоявляется частостью наблюдаемых в выборке значений величиныX, меньших , т.е. частостью появления события . При измененииx в общем случае будет изменяться и величина . Это означает, что относительная частотаявляется функцией аргумента. А так как эта функция находится по выборочным данным, полученным в результате опытов, то ее называют выборочной илиэмпирической.

Определение 10.15. Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значенияx относительную частоту события .

(10.19)

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между ними состоит в том, что теоретическая функция F(x) определяет вероятность события , а эмпирическая – относительную частоту этого же события. Из теоремы Бернулли следует

, (10.20)

т.е. при больших вероятностьи относительная частота события, т.е.мало отличаются одно от другого. Уже отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.

Функция иобладают одинаковыми свойствами. Это вытекает из определения функции.

Свойства :

1. ;

2. –неубывающая функция;

3. ;

4. .

Пример 10.4. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

Варианты	2	6	10
Частоты	12	18	30

Решение: Найдем объем выборки n=12+18+30=60. Наименьшая варианта , следовательно,при. Значение, а именнонаблюдалось 12 раз, следовательно:

=при.

Значение x<10, а именно инаблюдались 12+18=30 раз, следовательно,=при. При.

Искомая эмпирическая функция распределения:

=

График представлен на рис. 10.2

Рис. 10.2

Контрольные вопросы

1. Какие основные задачи решает математическая статистика? 2. Генеральная и выборочная совокупность? 3. Дайте определение объема выборки. 4. Какие выборки называются репрезентативными? 5. Ошибки репрезентативности. 6. Основные способы образования выборки. 7. Понятия частоты, относительной частоты. 8. Понятие статистического ряда. 9. Запишите формулу Стэрджеса. 10. Сформулируйте понятия размаха выборки, медианы и моды. 11. Полигон частот, гистограмма. 12. Понятие точечной оценки выборочной совокупности. 13. Смещенная и несмещенная точечная оценка. 14. Сформулируйте понятие выборочной средней. 15. Сформулируйте понятие выборочной дисперсии. 16. Сформулируйте понятие выборочного среднеквадратического отклонения. 17. Сформулируйте понятие выборочного коэффициента вариации. 18. Сформулируйте понятие выборочной средней геометрической.

8