3. Комбинаторика

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. они в ряде случаев позволяют подсчитать количество всевозможных и количество благоприятных исходов.

Правило умножения в комбинаторике. Если первое действие можно осуществить различными способами, а второе –, то оба действия можно осуществитьразличными способами.

Это правило обобщается и на большее число действий. Например, если первое действие можно осуществить различными способами, второе –, а третье, то все три действия можно осуществитьразличными способами.

Определение 6.8. Факториалом целого положительного числа (обозначается) называется произведение первыхчисел натурального ряда, т.е.:

(6.2)

Пусть имеется некоторое множество из элементов. Из этого множества можно образовать разные выборки, каждая из которых содержитэлементов.

Упорядоченные выборки называются размещениями.

Определение 6.9. Если комбинации из элементов поотличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения (либо и тем и другим), то такие комбинации называются размещениями изэлементов по.

При составлении размещений изэлементов нам надо сделатьвыборов. Сначала можно выбрать любой из имеющихсяпредметов. Если этот выбор уже сделан, то на втором шаге приходится выбирать из оставшихсяэлементов – ведь повторять сделанный выбор нельзя. Точно так же на третьем шаге для выбора остаетсясвободных элементов, на четвертом –и т. д. Таким образом, по правило умножения в комбинаторике число размещений изэлементов поравно:

(6.3)

или:

(6.4)

Пример 6.10. В высшей лиге чемпионата страны по футболу 16 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть распределены между командами?

Решение:

Это есть число размещений:

.

Определение 6.10. Если комбинации из элементов отличаются только порядком расположения этих элементов, то их называют перестановками изэлементов. Число перестановок изэлементов:

(6.5)

Пример 6.11. Сколькими способами можно разместить 5 человек за столом, на котором поставлено 5 приборов?

Решение:

Это есть количество перестановок:

Определение 6.11. Если комбинации из элементов поотличаются только составом элементов, то их называют сочетаниями изэлементов по. Число сочетаний изэлементов по:

(6.6)

Пример 6.12. В хоккейном турнире участвуют 6 команд. Сколько матчей должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя командами должен быть сыгран только один матч?

Решение:

Каждый матч играется между двумя командами из 6 и отличаются только составом пар команд, т.е. представляют сочетание из 6 элементов по 2. Таким образом, находим:

Пример 6.13. В классе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух человек. Какова вероятность, что выбраны два мальчика? Выбор считать случайным.

Решение:

Событие состоит в том, что в члены делегации выбрали двоих мальчиков. Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности, т.е.:.

Число исходов, благоприятствующих наступления события равно:

Число всех возможных исходов :.

.

Определение 6.12. Если выбирать элементов из, возвращая каждый выбранный элемент обратно, то такая выборка называется размещением изпос повторениями.

При этом имогут находиться в любом соотношении:и. Общее количествовыборок с возвращением равно:

(6.7)

Пример 6.14. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2 ,3, 4, 5?

Решение:

Воспользуемся формулой (6.7). В данной задаче = 5,= 3..