Математика и информатика. Часть I. Курс лекций. Алпатов А. В.

Лекция №6 случайные события

План

1. Основные понятия теории вероятностей

2. Классическое определение вероятности событий

3. Комбинаторика

4. Статистическая и субъективная вероятность

1. Основные понятия

Окружающий нас мир полон явлениями, которые носят случайный характер. Мы встречаемся с ними, наблюдая состояние атмосферы, физические эксперименты, производственные процессы и т.п. Результаты многих наблюдений нельзя предсказать однозначно. Например, прогноз погоды на следующий день, курс доллара, количество дорожно-транспортных происшествий. Допустим, что, исходя из каких-то соображений, мы прогнозируем на завтра 11 дорожно-транспортных происшествий на улицах нашего города. Это событие может либо произойти, либо нет. Дело в том, что ситуация на дорогах зависит от большого количества факторов и учесть влияние каждого из них заранее невозможно (погода, видимость, направление и сила ветра, самочувствие водителей и пешеходов, количество и расположение транспорта на трассе и т.д.) Поэтому не исключено, что число происшествий окажется не 11, а, например, 10, 8, или 15. Рассмотренные события называются случайными. Раздел математики, изучающий случайные события называется теория вероятностей.

Время становления фундаментальных основ теории вероятностей относится к XVII веку. Вклад в формирование теории вероятностей внесли такие математики как Б. Паскаль (1623-1662), П. де Ферма (1601-1665), Галилей (1564-1642), Я. Бернулли (1654-1705) и др. Возникновение вероятностных понятий в математике связывают с перепиской двух великих французов Блеза Паскаля и Пьера Ферма, посвященной задаче о справедливом разделении ставок в игре. Интерес к задачам, связанным с вероятностями, формировался, прежде всего, под влиянием развития страхового дела, но частные вопросы, побудившие известных математиков поразмыслить над этим предметом, были поставлены в связи с играми в кости и карты. Кавалер де Мере (который вовсе не был заядлым игроком, а серьезно интересовался наукой) обратился к Паскалю по поводу так называемой задачи об очках. Паскаль завязал переписку с Ферма, и они вдвоем установили некоторые основные положения теории вероятностей (1654). Когда Христиан Гюйгенс узнал об этой переписке, он попытался дать собственное решение, в результате чего появилась его книга «О расчетах при азартных играх» (1657), первый трактат по теории вероятностей. Гюйгенс писал: «...при внимательном изучении предмета читатель заметит, что он занимается не только игрой, а что здесь даются основы теории глубокой и весьма интересной». Итак, теория вероятностей зародилась как наука под влиянием азартных игр и развития страхового дела. В XIX веке теория вероятностей оформилась в стройную математическую теорию в связи с работами выдающихся русских ученых, таких как П. Л. Чебышев (1821-1894), А. А. Марков (1856-1922) и А. М. Ляпунов (1857-1918).

Основным понятием в теории вероятностей является случайное событие.

Определение 6.1. Случайным событием называется любой факт, который в условиях испытания может произойти или не произойти.

Под испытанием в этом определении подразумевается выполнение определенного комплекса условий. Далее вместо «случайного события» для краткости будем употреблять «событие».

События обозначаются прописными латинскими буквами: A, B, C, ….

Пример 6.1. Появление герба при подбрасывании монеты, выпадение осадков более 1000 мм в данном географическом пункте за определенный год – являются событиями.

Определение 6.2. События называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление любого другого. В противном случае события называются совместными.

Пример 6.2. Несовместные события: выпадения цифры «5» при бросании игрального кубика исключает выпадение других цифр.

Пример 6.3. Совместные события: два стрелка стреляя по мишени, могут одновременно попасть по ней.

Определение 6.3. Событие называется достоверным , если в результате испытания оно обязательно должно произойти.

Определение 6.4. Событие называется невозможным , если в результате испытания оно не может произойти.

Пример 6.4. Извлечение белого шара из урны с белыми шарами – событие достоверное, а извлечение черного шара из той же урны – событие невозможное.

Несколько событий называются единственно возможными, если в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них.

Пример 6.5. Оценки «5», «4», «3», «2» – есть события единственно возможные по результатам курсового экзамена при наличии студента.

Пример 6.6. Провели испытание: бросили два игральных кубика. В этом случае события «выпала единица», «двойка», «тройка», «четверка», «пятерка» и «шестерка» являются единственно возможными, поскольку хотя бы одно из них обязательно произойдет. А события «выпала единица», «двойка», «тройка» не будут являться единственно возможными.

Определение 6.5. События называются равновозможными, если в результате испытаний по условиям симметрии ни одно из этих событий не является объективно более возможным.

Пример 6.7. Извлечение из полной колоды игральных карт дамы или короля – являются равновозможными.

Несколько событий образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытаний. Два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти, называются противоположными.