4. Основные свойства пределов
Пусть
и
– функции, для которых существуют
пределы при
(или при
):
,
.
Сформулируем основные свойства пределов.
1. Предел суммы функций равен сумме пределов этих функций, т.е.:
(4.13)
2. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций, т.е.:
(4.14)
3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е.:
(4.15)
4. Предел от константы равен данной константе:
(4.16)
5. Если в некоторой
окрестности точки x0
(или при достаточно больших x)
,
то:
(4.17)
6. Если
,
то:
(4.18)
5. Замечательные пределы
Первый замечательный предел:
(4.19)
Второй замечательный предел:
(4.20)
где e=2,718281… – трансцендентное число.
6. Способы вычисления пределов
Неопределенность
типа
.
Пример 4.8.
Вычислить
.
Решение:
Если подставить
в функцию вместо
число 2, то и в числителе и в знаменателе
получатся нулю, т.е. появится неопределенность
вида
.
Чтобы вычислить предел необходимо
избавиться от данной неопределенности.
Для этого надо представить числитель
и знаменатель в виде сомножителей:
Здесь предварительно
имеем:
,
где
и
– корни квадратного трехчлена.
1) Числитель
;
;
;
.
2) Знаменатель
;
;
;
.
Неопределенность
вида
.
Пример 4.9.
Вычислить
.
Решение:
При подстановке
в числитель и знаменатель
,
появляется неопределенность вида
.
Избавиться от нее можно следующим
образом:
,
так как
;
;
и
при
.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте понятие числовой последовательности. 2. Какая числовая последовательность называется ограниченной? 3. Приведите пример монотонной ограниченной числовой последовательности. 4. Приведите пример монотонной неограниченной числовой последовательности. 5. Какая точка называется предельной для данной числовой последовательности. 6. Сформулируйте теорему Больцано-Вейерштрасса. 7. Сформулируйте понятие предела числовой последовательности. 8. В чем заключается геометрический смысл предела числовой последовательности? 9. Сформулируйте понятие функции. Способы задания функции. 10. Сформулируйте понятие предела функции. 11. Запишите основные свойства пределов. 12. Запишите первый и второй замечательные пределы.