2. Понятие функции

Пусть и– два непустых множества.

Определение 4.6. Функцией одной переменной называется правило, по которому каждому элементу некоторого множествасоответствует единственный элементдругого множества.

–независимая переменная (аргумент),

–зависимая переменная,

–область определения функции,

–множество значений функции.

Функцию принято обозначать .

Существует несколько способов задания функции.

1. Аналитический способ. При таком способе задания функция с помощью аналитических выражений, т. е. с помощью формулы, указывающей какие действие надо совершать над значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение функции.

Пример 4.5. .

2. Табличный способ. Составляется таблица, в которой указывается ряд значений аргумента и соответствующих значений функции.

3. Графический способ. Значения функции соответствующие тем или иным значениям аргумента непосредственно находятся из графика.

4. Описательный (словесный).

Пример 4.6. Функция, ставящая в соответствие числу ее целую часть: 2,5→2; 1,3→1 (пример словесного задания функции).

Основные элементарные функции, заданные аналитически:

1. Постоянная (константа) y=C.

2. Степенная функция y=xⁿ, где n – действительное число, отличное от нуля.

3. Показательная функция .

4. Логарифмическая функция .

5. Тригонометрические функции .

6. Обратные тригонометрические функции – ,,,.

Элементарная функция – любая функция, которая может быть получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий.

Определение 4.7. Сложной функцией (композицией двух или нескольких функций) называется функция вида: .

Пример 4.7. .

3. Предел функции

Понятие предела функции является обобщением понятия предела числовой последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции целочисленного аргумента.

Рассмотрим следующую функцию:

(4.9)

Рис. 4.4.

Если принимает только целые значения, то значения этой функции будут вести себя также как и последовательность.

При стремлении к бесконечности x значение функции будет все ближе и ближе подходить к единице, что видно из графика на рис.4.4. Это пример недостижимого предела.

Определение 4.8. Функция стремится к пределупри, если для каждого произвольного сколь угодно малого положительного числаможно указать такое положительное числоN что для всех значений , удовлетворяющих неравенствубудет выполняться неравенство:

(4.10)

Этот предел функции обозначается илипри.

Смысл определения состоит в том, что при достаточно больших по модулю значениях x значения функции f(x) как угодно мало отличаются от числа b (по абсолютной величине).

Рис. 4.5.

Геометрически число есть предел функциипри, если для любогонайдется такое число, что для всех, таких, что, соответствующие ординаты графика функциибудут заключаться в полосе, какой бы ни была эта полоса (рис.4.5).

Приведенное выше определение предела функции при предполагает неограниченное возрастание переменнойпо абсолютной величине. В то же время можно сформулировать понятие предела при стремление к бесконечности определенного знака, т.е. прии при. В первом случае неравенство (4.10) должно выполняться для всехx таких, что , а во втором – для всехтаких, что.

Определение 4.9. Число a называется пределом функции пристремящемся к(или в точке), если для любого, даже сколь угодно малого, числа, найдется такое число(зависящее от,), что для всех, не равныхи удовлетворяющих условию

(4.11)

выполняется неравенство:

(4.12)

Это определение называют определением предела функции по Коши. Смысл определения предела функции в точкесостоит в том, что для всех значенийдостаточно близких к, значения функциикак угодно мало отличаются от числа(по абсолютной величине).