Математика и информатика. Часть I. Курс лекций. Алпатов А. В.

Лекция№4 понятие предела функции

План

1. Предел числовой последовательности

2. Понятие функции

3. Предел функции

4. Основные свойства пределов

5. Замечательные пределы

6. Способы вычисления пределов

1. Предел числовой последовательности

Определение 4.1. Если по некоторому закону каждому числу поставлено в соответствие вполне определенное число, то говорят, что задана числовая последовательность:

(4.1)

Числа называются членами ряда, а членобщим или-м членом ряда. Числовая последовательность называется заданной, если известен ее общий член, т.е. задана функциянатурального аргумента.

Существуют числовые последовательности, как с конечным числом членов, так и с бесконечным.

В случае бесконечной числовой последовательности мы сможем определить вид любого ее члена, зная функциональную зависимость .

Определение 4.2. Последовательность называется:

1. ограниченной сверху, если все члены ее меньше одного и того же числа :

(4.2)

2. ограниченной снизу, если все члены ее больше одного и того же числа :

(4.3)

3. ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу:

(4.4)

Пример 4.1.

Приведем пример нескольких бесконечных числовых последовательностей:

2, 4, 6, …, 2, … (монотонная неограниченная)

(монотонная ограниченная)

1, 0, 1, 0, 1, … (немонотонная ограниченная)

(немонотонная ограниченная)

Всякая конечная последовательность, очевидно, ограничена. В качестве можно взять любое число, большее, чем наибольший из членов последовательности; в качестве– любое число, меньшее, чем наименьшее из членов последовательности.

Совсем по иному обстоит дело с бесконечными последовательностями. В данном случае возможны следующие варианты: числовая последовательность ограничена сверху, числовая последовательность ограничена снизу, также они могут быть неограниченными ни сверху, ни снизу.

Пример 4.2. Числовая последовательность является неограниченной, ни сверху, ни снизу.

Определение 4.3. Всякая точка, обладающая тем свойством, что в любой ее окрестности содержится бесконечное множество членов последовательности , называетсяпредельной точкой этой последовательности.

Используя данный термин, можно сформулировать теорему Больцано-Вейерштрасса:

Теорема 4.1. Всякая ограниченная бесконечная последовательность имеет, по крайней мере, одну предельную точку.

Заметим, что различные последовательности могут иметь то или иное количество предельных точек; существуют также последовательности, которые обладают бесконечным множеством предельных точек (например, последовательность из всех рациональных чисел, занумерованных произвольным образом). При этом предельная точка может как «принадлежать» данной числовой последовательности, т.е. входить в состав ее членов, так и не принадлежать ей.

Сформулируем понятие предела.

Определение 4.4. Если ограниченная последовательность имеет одну предельную точку, то эта точка называется пределом числовой последовательности.

Если же ограниченная последовательность имеет более одной предельной точки, то говорят, что последовательность не имеет предела.

Пример 4.3. Последовательность

(4.5)

имеет одну предельную точку 0 (рис. 4.1).

Пример 4.4. Последовательность

(4.6)

имеет две предельной точки -1 и 1 (рис.4.2).

Таким образом, из двух приведенных выше числовых последовательностей первая из них имеет предел, а вторая нет.

Приведем теперь классическое определение предела.

Определение 4.5. Постоянное число называетсяпределом последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числасуществует номер, что все значения_, у которых , удовлетворяют неравенству:

(4.7)

Для обозначения того факта, что – есть предел последовательности, применяется следующая запись:

(4.8)

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Геометрический смысл понятия предела числовой последовательности состоит в следующем. Число – есть предел числовой последовательности,, если для любогонайдется номер, начиная с которого (при) все члены последовательности будут заключены в– окрестности точки. Поясним вышесказанное с помощью рис. 4.3.