3. Таблица основных формул дифференцирования

Не обязательно находить производную, используя определение. Иногда этот процесс бывает слишком трудоёмким, а иногда практически неосуществимым.

При помощи основных формул и правил дифференцирования можно найти производную практически любой функции, которую можно представить как комбинация элементарных функций и действий над ними.

1. ; 2.; 3.; 4.;

5. ; 6.; 7.; 8.;

9. ; 10.; 11.; 12..

4. Правила дифференцирования

1. Если функции идифференцируемы в данной точке, то в той же точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых:

(5.16)

Пример 5.4. Найти производную функции

2. Если функции идифференцируемы в данной точке, то в той же точке дифференцируемо и их произведение. При этом производная произведения находится по следующей формуле:

(5.17)

Пример 5.5. Найти производную функции

3. Если функция дифференцируема в данной точке, то в той же точке дифференцируема и функция представляющая собой произведение функциина константу. При этом данную константу можно вынести за знак производной:

(5.18)

Пример 5.6. Найти производную функции

4. Если в данной точке функцииидифференцируемы и, то в той же точке дифференцируемо и их частное, причем:

(5.19)

Пример 5.7. Найти производную функции

5. Если функция имеет производнуюв точке, а функцияимеет производнуюв соответствующей точке, то сложная функцияв данной точкеимеет производную, которая находится по следующей формуле:

(5.20)

Пример 5.8. Найти производную функции

5. Дифференциал

Пусть приращение функциив точкеможно представить в следующем виде:

, (5.21)

где – приращение аргумента, вызвавшее приращение функции;– постоянная (т.е. величина, не зависящая от);– бесконечно малая функция высшего порядка малости по сравнению с, т.е..

Определение 5.6. Если приращение функциив точкеможет быть представлена по формуле (5.21), то главная часть приращения функции, пропорциональная приращению аргумента, называется дифференциалом этой функции.

Дифференциал функции обозначается символом. Итак, по определению:

(5.22)

,

Выражение (5.21) можно записать следующим образом:

(5.23)

Рис. 5.4.

Приведем геометрический смысл дифференциала. Рассмотрим функцию (см. рис. 5.4). В произвольной точке графика данной функциюпроведем касательную. Дадим независимой переменнойприращение. Из треугольниканаходим:. Поскольку, то:

(5.24)

Согласно определению дифференциала . Таким образом,. Таким образом, дифференциал функции, есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когдаполучает приращение. Из рис. 5.4 видно, что. Сравнив данное соотношение с (5.23), можно сделать вывод, что– нелинейная часть бесконечно малого порядка. Отметим, чтоне всегда больше.

6. Производные высших порядков

Значения производной зависят от, т.е. производнаяпредставляет собой тоже функцию от. Дифференцируя эту функцию, мы получим вторую производную. Обозначается вторая производная следующим образом:. Аналогично получаются и производные третьего порядкаи т.д.

В общем виде производная го порядка от функцииназывается производная (первого порядка) от производнойго порядка и обозначаются символом. Записывается это следующим образом:

(5.25)