Математика и информатика. Часть I. Курс лекций. Алпатов А. В.

Лекция №5 дифференциальное исчисление функции одной переменной

План

1. Непрерывность функции

2. Понятие производной

3. Таблица основных формул дифференцирования

4. Правила дифференцирования

5. Дифференциал

6. Производные высших порядков

7. Возрастание и убывание функции

1. Непрерывность функции

Представление о непрерывности функции интуитивно связано у нас с тем, что ее графиком является плавная, нигде не прерывающаяся линия. При рассмотрении графика такой функции мы видим, что близким значениям аргумента соответствуют близкие значения функции. Если независимая переменнаяприближается к точке, то значение функциинеограниченно приближается к значению функции в точке(рис. 5.1).

Дадим строгое определение непрерывности функции.

Определение 5.1. Функция называется непрерывной в точке, если: 1) эта функция определена в некоторой окрестности точки; 2) существует предел; 3) этот предел равен значению функции в точке, т.е..

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т. п.), то она называется непрерывной в этой области.

Часто приходится рассматривать непрерывность функции в точке справа и слева. Пусть функцияопределена в точке. Если, то говорят, что функциянепрерывна в точкесправа. Если, то функциянепрерывна в точкеслева.

Введем теперь понятие точки разрыва.

Определение 5.2. Точка называется точкой разрыва функции, если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности.

Рис. 5.2.

В этом случае говорят, что при функция разрывная. Это может произойти, если в точкефункция не определена, или не существует предел функции при, или, наконец, если предел функции существует, но не равен значению функции в точке:.

Точки разрыва бывают двух типов.

Определение 5.3. Точка разрыва функцииназывается точкой разрываI рода, если существуют оба односторонних предела и.

Определение 5.4. Точка разрыва функцииназывается точкой разрываII рода, если хотя бы один из двух пределов илистремится к бесконечности.

Пример 5.1. Рассмотрим функцию:

(5.1)

Даная функция имеет в точке разрыв первого рода, поскольку для нее существуют пределы прии справа и слева:

(5.2)

(5.3)

Пример 5.2. Рассмотрим следующую функцию:

(5.4)

Данная функция имеет в точке разрыв второго рода, поскольку для нее не существуют конечные пределы прини слева, ни справа:

(5.5)

(5.6)

На рис. 5.2 представлены графики двух функций, которые были рассмотрены в примерах 5.1 и 5.2.

2. Понятие производной

Пусть дана функция. Рассмотрим два значения ее аргумента: исходноеи новое. Разностьназывается приращением аргументав точке(кратко – приращением аргумента) и обозначается символом.

При этом если изменяется аргумент, то и функция получит некоторое приращение в точке :. Приращение функции в точкекратко обозначается. На рис. 5.3 показаны величиныи.

Таким образом, можно записать:

(5.7)

(5.8)

или:

(5.9)

(5.10)

Подставляя в формулу (5.8) выражение (5.9), получим:

(5.11)

Составим отношение:

(5.12)

Определение 5.5. Производной функции называется предел отношения ее приращенияк соответствующему приращениюнезависимой переменной, когда:

(5.13)

Для одной и той же функции производную можно вычислить в различных точках.

Наряду с обозначением для производной функции употребляются и другие обозначения:,.

Нахождение производной называется дифференцированием.

Функция , имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функцияназывается дифференцируемой на интервале, если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно.

Пример 5.3. Используя определение, вычислим производную функции .

=

=

Для того чтобы функция в точкеимела производную, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке как правостороннюю, так и левостороннююпроизводные и чтобы эти производные были равны между собой.

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой равен значению производной в этой точке:

(5.14)

Механический смысл производной: скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времениесть производная от путипо времени, т.е.:

(5.15)