Математика и информатика. Часть I. Курс лекций. Алпатов А. В.

Лекция №7 основные теоремы теории вероятностей

План

1. Сложение и умножение вероятностей

2. Формула полной вероятности

3. Повторные независимые испытания

1. Сложение и умножение вероятностей

Определение 7.1. Суммой нескольких совместных событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Пример 7.1. Пусть проводится испытание, заключающееся в том, что стрелок стреляет по мишени два раза. Пусть событие – попадание в цель при первом выстреле;– попадание в цель при втором выстреле. Тогда сумма двух совместных событийС=А+В – попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле – при первом, при втором или при обоих вместе.

Определение 7.2. Суммой нескольких несовместных событий называется событие, состоящее в наступлении только одного из них.

Пример 7.2. Пусть проводится испытание, заключающееся в извлечении карты из колоды в 36 карт. Обозначим – вынули пиковую карту,– вынули бубновую карту. Данные события при таком испытании являются несовместными. Под суммой двух событий будет пониматься событие, заключающееся в появлении либо пиковой, либо бубновой карты.

Теорема 7.1. Вероятность суммы двух несовместных событий иравна сумме вероятностей этих событий:

(7.1)

Эта теорема распространяется и на конечное количество событий и на бесконечное:

(7.2)

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:

(7.3)

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

(7.4)

Пример 7.3. Найти вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет либо число «1», либо «6».

Решение:

Пусть событие состоит в том, что выпадет число «1», событие– в том, что выпадет число «6». Используя, классическое определение вероятности, найдем вероятности наступления событияи.

; . Из определения суммы двух несовместных событий:

.

Рис. 7.1. а) несовместные события; b) совместные события.

Теорема 7.2. Вероятность суммы двух совместных событий иравна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

(7.5)

Рисунок 7.1 поясняет на основании теоретико-множественных представлений теоремы 7.1 и 7.2. Рассмотрим сначала случай несовместных событий (рис. 7.1.а). Пусть появлению события благоприятствуетэлементарных исходов, а событию–. Всего в пространстве событийэлементарных исходов. Найдем вероятность суммы двух событийи, использую формулу классической вероятности:

. Рассмотрим теперь случай совместных событий (рис. 7.1.б). Из рисунка видно, что множества ипересекаются. Общая область соответствует элементарным исходам, при которых появляются оба событияи. Пусть данная область содержитэлементарных события. Тогда вероятность двух совместных событий будет равна:

Определение 7.3. Произведением двух событийиназывается событие, состоящее в одновременном появлении и событияи события.

Определение 7.4. Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятность появления другого. В противном случае события называются зависимыми.

Определение 7.5. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если независимы любые два из них и независимы любые из данных событий и любые комбинации (произведения) остальных событий. В противном случае события называются зависимыми.

Определение 7.6. Вероятность наступления события , вычисленная при условии наступления другого события, называется условной вероятностью событияпо отношению к событию. Записывается это либо, либо.

Теорема 7.3. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, найденную из предположения о том, что первое событие уже произошло:

(7.6)

Данная теорема распространяется и на большее число событий:

(7.7)

Рассмотрим следующий пример. Предположим, что мы подбросили игральный кубик. Событие – выпало число «4». Вероятность такого события равна. Предположим, что мы не знаем, какое именно число выпало при подбрасывании, но знаем, что оно четное (событие). Информация о событииуменьшает наше пространство событий, и поэтому меняет вероятность появления события. Полная группа событий для первоначального событияпредставляет собой набор натуральных чисел от 1 до 6 включительно. Появление информации о том, что выпавшее число – четное (событие), уменьшило пространство событий в два раза (числа 2, 4, 6). Поэтому вероятность появления числа «4» при условии, что выпавшее число – четное, возрастает от 1/6 до 1/3.

На основании теоремы 7.3 можем записать:

Теорема 7.4. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

(7.8)

Данная теорема распространяется и на большее число событий:

(7.9)

Пример 7.4. Производятся два выстрела по одной и той же мишени. Вероятность попадания в мишень при первом выстреле равна 0,7, при втором 0,9. Найти вероятность того, что будет хотя бы одно попадание.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что попадание произошло при первом выстреле, событие– при втором. При этом= 0,7, а= 0,9. Событияиявляются совместными и независимыми, следовательно:

Пример 7.5. Из урны, в которой находятся 7 белых и 3 черных шара вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся черными. Испытания будем проводить по двум схемам: 1) шары возвращаются в корзину; 2) шары не возвращаются в корзину.

Решение:

1) События исостоят соответственно вытащить из урны черный шар в первый и во второй. При таком испытании, когда извлеченный шар обратно возвращается, данные события совместные и независимые. Тогда;. Вероятность того, что оба шара будут черного цвета, равна:.

2) События исостоят соответственно вытащить из урны черный шар в первый и во второй. При таком испытании, когда извлеченный шар обратно не возвращается, данные события совместные и зависимые. Тогда;. После того как из урны извлекли первый черный шар, то в ней осталось всего 9 шаров, из которых только два окрашены в черный цвет. Таким образом:.