X1  0, х2  0. (8.2)

Поскольку задача сводится к нахождению таких объемов выпуска продукции, при которых прибыль будет максимальной, целевую функцию можно записать в виде:

L  d₁  х₁  d₂  х₂  max. (8.3)

На практике может стоять задача и минимизации целевой функции (например, минимизация себестоимости выпуска продукции).

Все разновидности таких задач сводятся к основной задаче линейного программирования (ОЗЛП). Эта задача характеризуется тем, что ограничения-неравенства приводятся к равенствам, а целевая функция обращается в экстремум.

В теории массового обслуживания в качестве критерия эффективности системы массового обслуживания (СМО) используется значение функции потерь, которая для одноканального варианта системы имеет вид:

L  L_нв  L_пр  С₁( :   1) : (  )  С₁(1   : )  min, (8.4)

где L_нв  потери от недополученной выгоды;

L_пр  потери от простоя;

C₁  стоимость одной заявки, ожидающей обслуживания в системе;

C₂  стоимость содержания единицы пропускной способности СМО в единицу времени;

  интенсивность потока требований на обслуживание;

интенсивность обслуживания требований системой.

Функция потерь для многоканального (двух- и трехканального) варианта СМО имеет вид:

L  С₁  С₂S₀  min, (8.5)

где   среднее время пребывания заявки в системе

  ₀  1 : ,

₀  среднее время ожидания обслуживания каждым требованием

₀ = P₀( : μ)^{S + 1} : [(S - 1)!(S - )²]

P₀  вероятность отсутствия требований в системе

S  количество каналов обслуживания в системе,

S₀  среднее число незанятых каналов в системе обслуживания.

Теория игр исследует с помощью математического аппарата ситуации, в которых принятие решений зависит от возможностей нескольких участников. Интересы участников могут быть как антагонистические (полностью противоположные), так и неантагонистические. В последнем случае может исследоваться вопрос о наиболее эффективных совместных действиях, изучаемых в рамках кооперативных игр.

Понятие риска предполагает наличие рискующего  лицо, принимающее решение (ЛПР).

Допустим, рассматривается вопрос о проведении финансовой операции в условиях неопределенности. При этом у ЛПР есть несколько возможных решений i  1, 2, ..., т, а реальная ситуация неопределенна и может принимать один из вариантов j  1, 2, ..., n. Пусть известно, что если ЛПР примет i-e решение, а ситуация примет j-й вариант, то будет получен доход q_ij. Матрица Q  (q_ij) называется матрицей последствий (возможных решений или платежной матрицей).

Оценим размеры риска в данной схеме.

^{Пусть принимается i-е решение. Очевидно, если бы было известно, что реальная ситуация будет j-я, то ЛПР принял бы решение, дающее доход Однако i-е решение принимается в условиях неопределенности. Значит, ЛПР рискует получить не q}_j ^{, а только q}_ij^{. Таким образом, существует реальная возможность недополучить доход, и этому неблагоприятному исходу можно сопоставить риск r}_ij^{, размер которого целесообразно оценить как разность}

r_ij  q_j  q_ij. (8.6)

Матрица R  (r_ij) называется матрицей рисков.

Например, используя формулу (8.6), составим матрицу рисков R  (r_ij) по заданной матрице последствий

^{Очевидно, аналогично q}₂ ^{ 5, q}₃ ^{ 8, q}₄ ^{ 12. Следовательно, матрица рисков имеет вид}

Полная неопределенность означает отсутствие информации о вероятностных состояниях среды («природы»), например, о вероятностях тех или иных вариантов реальной ситуации; в лучшем случае известны диапазоны значений рассматриваемых величин. Рекомендации по принятию решений в таких ситуациях сформулированы в виде определенных правил (критериев). Рассмотрим основные из критериев.

^{Правило максимакса. По этому критерию определяется вариант решения, максимизирующий максимальные выигрыши  например, доходы  для каждого варианта ситуации. Это критерий крайнего («розового», или легкомысленного) оптимизма, по которому наилучшим является решение, дающее максимальный выигрыш, равный Рассматривая i-е решение, предполагают самую хорошую ситуацию, приносящую доход а затем выбирают решение с наибольшим a}_i^.

^{Для платежной матрицы в рассмотренном примере находим последовательность значений a}₂ ^{ 12, a}₃ ^{ 10, a}₄ ^{ 8. Из этих значений находим наибольшее: a}₂ ^{ 12. Следовательно, критерий максимакса рекомендует принять второе решение (i  2).}

^{Правило Вальда (правило максимина, или критерий крайнего пессимизма). Рассматривая i-e решение, будем полагать, что на самом деле ситуация складывается самая плохая, т. е. приносящая самый малый доход: b}_i ^{ minq}_ij^{. Но теперь выберем решение i}₀ ^{с наибольшим b}_i0^{. Итак, правило Вальда рекомендует принять решение i}₀ ^{такое, что}

В рассматриваемом примере имеем b₁  2, b₂  2, b₃  3, b₄  1. Теперь из этих значений выбираем максимальное b₃  3. Значит, правило Вальда рекомендует принять третье решение (i  3).

^{Правило Сэвиджа (критерий минимаксного риска). Этот критерий аналогичен предыдущему критерию Вальда, но ЛПР принимает решение, руководствуясь не матрицей последствий Q, а матрицей рисков R  (r}_ij^{). По этому критерию лучшим является решение, при котором максимальное значение риска будет наименьшим, т. е. равным Рассматривая i-e решение, предполагают ситуацию максимального риска и выбирают вариант решения i}₀ ^{с наименьшим}

^{Рассматривая матрицу рисков R для данного примера, находим последовательность величин r}₂ ^{ 6, r}₃ ^{ 5, r}₄ ^{ 7. Из этих величин выбираем наименьшую: r}₃ ^{ 5. Значит, правило Сэвиджа рекомендует принять третье решение (i  3). Заметьте, что это совпадает с выбором по критерию Вальда.}

Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и оптимистический подходы к ситуации). По данному критерию выбирается вариант решения, при котором достигается максимум выражения c_i  {minq_ij  (1  )maxq_ij}, где 0    1. Таким образом, этот критерий рекомендует руководствоваться некоторым средним результатом между крайним оптимизмом и крайним пессимизмом. При   0 критерий Гурвица совпадает с максимаксным критерием, а при   1 он совпадает с критерием Вальда. Значение  выбирается из субъективных (интуитивных) соображений.

Для приведенной в рассмотренном примере матрицы последствий выберем наилучший вариант решения на основе критерия Гурвица при  ¹/₂.

Рассматривая матрицу последствий Q по строкам, для каждого i вычисляем значения c_i  1 : 2minq_ij  1 : 2maxq_ij. Например, с₁  ¹/₂  2  ¹/₂  8  5; аналогично находятся с₂  7; с₃  6,5; с₄  4,5. Наибольшим является с₂ 7. Следовательно, критерий Гурвица при заданном   ¹/₂ рекомендует выбрать второй вариант (i  2).

Правило Лапласа (критерий максимума средневзвешенного выигрыша). По данному критерию выбирается вариант решения, при котором для платежной матрицы достигается максимум выражения L_i  Р_jq_ij, где Р_j  вероятность реализации j-ой ситуации, q_ij  значение выигрыша при реализации i-го решения при j-й ситуации:

Таким образом, этот критерий рекомендует руководствоваться тем результатом, который обеспечивает средний максимальный выигрыш. Если вероятности реализации каждой j-й ситуации Р_j заранее неизвестны, то в частном случае их можно считать равными между собой: Р_j  ¹/_n, где n  число возможных ситуаций по платежной матрице.

На практике ситуации, в которых вероятности реализации каждой j-й ситуации Р_j априорно (заранее) известны  крайне редки. Но и ситуации, в которых о возможностях реализации той или иной j-й ситуации заранее неизвестно ничего  также крайне редки. Чаще всего о возможностях реализации j-х ситуаций известна лишь некоторая информация, по которой можно провести ранжирование этих ситуаций, установив порядок их ожидаемой очередности. В этом случае вероятность реализации каждой из j-х ситуаций определяется выражением:

где k_j  номер ранга j-й ситуации;

n  число возможных ситуаций по платежной матрице.

Для приведенной в рассмотренном примере платежной матрицы выберем наилучший вариант решения на основе критерия Лапласа, считая, что наибольшие шансы на реализацию имеет третья ситуация и далее, в порядке очередности  вторая, четвертая и первая, т. е. k₁  4, k₂  2, k₃  1, k₄  3.

Рассматривая платежную матрицу (матрицу последствий) Q по строкам, для каждого i вычисляем значения L_i Р_jq_ij, предварительно вычислив значения Р_j.

Например, Р₁  [2  (n  k₁  1)] : [n  (n  1)]  [2  (4  4  1)] : [4  (4  1)]  2 : 20  0,1.

Вычисляем аналогично Р₂  0,3, Р₃  0,4, Р₄  0,2.

Тогда L₁  0,1  5  0,3  2  0,4  8  0,2  4  5,1; аналогично находим L₂  5,1; L₃  5,5; L₄  3,7. Наибольшим является L₃  5,5. Следовательно, критерий Лапласа при указанном ранжировании j-х ситуации рекомендует выбрать второй вариант (i  3).