Анализ временных рядов и прогнозирование

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

На первом этапе сглаживания определяются интервал сглаживания и порядок аппроксимирующего полинома. Принято считать, что при использовании полиномов высоких степеней и при меньших размерах интервалов сглаживание ряда динамики будет более гибким.

Центральная ордината параболы, например, принимается за сглаженное значение соответствующего фактическим данным уровня. Поскольку отсчет времени в пределах интервала сглаживания производится от его середины, то сглаженное значение уровня равно параметру а подобранной параболы и является соответствующей скользящей средней. Поэтому для сглаживания нет необходимости прибегать к процедуре подбора системы парабол, так как величину а можно получить как взвешенную среднюю из «к» уровней.

Например, если в интервал сглаживания входят пять последовательных уровней ряда со сдвигом во времени на один шаг, а выравнивание проводится по полиному второго порядка, то коэффициенты полинома находятся из условия:

= 351 (− 3yt−2 +12yt−1 +17yt +12yt+1 − 3yt+2 )

Аналогичным путем получают выражения и для других интервалов сглаживания по параболе второго и третьего порядка.

41

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Согласно приведенным формулам, веса симметричны относительно центрального уровня и их сумма с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице.

По данным рассмотренного выше примера об объеме платных услуг населению одного из регионов РФ за период январь — декабрь 2002 г. произведем расчет 7 — ми членных скользящих средних и проанализируем на их основе характер тенденции исходного временного ряда (таблица 2.9, гр. 18).

В качестве аппроксимирующего полинома примем параболу второго порядка, параметры которой могут быть определены на основе решения следующей системы нормальных уравнений методом наименьших квадратов:

Отсчет времени в пределах интервала сглаживания произведем от его середины, то система уравнений упростится до следующего вида:

Промежуточные расчеты взвешенных скользящих средних более подробно могут быть представлены следующим образом:

42

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

6.∑y(6) = 26,9 + 28,0 + ... + 31,9 = 202,0;

∑yi(26) = 815,5

а2 = −0,089

а0 = 28,60

Взвешенная семичленная скользящая средняя показывает, что на протяжении периода с января по декабрь 2002 г. в РФ наблюдался рост объема платных услуг населению РФ.

Метод плавного уровня по величине среднего абсолютного прироста придает изменению во времени характер изменения по прямой линии, а по величине среднего темпа роста — по показательной кривой. И тот и другой методы не покажут, как происходило развитие, так как их плавный уровень целиком зависит от начального и конечного уровней динамики.

Метод Лагранжа является формальным методом, позволяющим установить математическую зависимость между уровнем временного ряда и временем, к которому он относится.

Обобщением этой типизации и является моделирование (нахождение аналитической функции, выражающий развитие явления за рассматриваемый период времени).

Метод аналитического выравнивания заключается в нахождении аналитической функции, выражающей развитие явления за рассматриваемый период времени. При этом решаются следующие задачи:

a) выбор вида уравнения, отображающего тип развития;

б) анализ схемы сбора фактических данных и определение параметров модели; в) определение методов преобразования исходных данных с целью сведения сложных

уравнений к более простым; г) выявление степени близости теоретических и фактических данных.

Найденная модель позволяет получить выровненные или, как иногда называют, теоретические значения уровней, которые наблюдались бы при совпадении динамики явления с кривой найденной модели.

По таким принципам можно построить частные модели (субмодели), которые затем объединяются в комплексные модели, или системы моделей.

Пример. Определим основную тенденцию ряда динамики объема платных услуг населению РФ за январь — декабрь 2002 г.

43

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Таблица 2.9.

Расчетная таблица для определения взвешенных скользящих средних объема платных услуг населению одного из регионов РФ за период январь-декабрь 2002 г.

44

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Рассмотрим определение тенденции на основе полинома первой и второй степени, то есть прямой и параболы второго порядка, промежуточные расчеты параметров которых приведены в таблице 2.10.

Для уравнения прямой параметры определяются путем решения следующей системы нормальных уравнений методом наименьших квадратов:

Примем∑t = 0

a0 = ∑y :n = 318,6 :12 = 26,55 а1 = ∑∑ytt2 = 247572,6 = 0,43

yt = 26,55 + 0,43t

Для уравнения параболы второго порядка параметры могут быть определены на основе решения следующей системы нормальных уравнений методом наименьших квадратов:

2.4. Выбор формы тренда

Остановимся подробнее на проблеме выбора математической функции описания основной тенденции развития, то есть выбора подобной реальной динамике формыуравнения.

Для отображения основной тенденции развития явлений во времени или модели этого процесса применяются разные уравнения, полиномы разной степени, экспоненты, логистические кривые и другие функции.

45

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Таблица 2.10.

Динамика объема платных услуг населению РФ за период январь-декабрь 2002 г. и определение параметров уравнения прямой методом наименьших квадратов

46

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Полиномы имеют следующий вид:

Наиболее простым путем решения проблемы выбора формы трендовой модели можно назвать графический, на базе общей конфигурации графика фактических уровней ряда. Однако при этом подходе риск ошибочного выбора кривой очень велик. Разные специалисты, исходя из одного и того же графика, могут прийти к разным заключениям по поводу формы уравнения. Правильность выбора уравнения в некоторой мере зависит от масштаба графика. Однако в несложных случаях подход графического выбора может дать вполне приемлемые результаты.

Подбор класса выравнивающих кривых для временного ряда производится на основе качественного анализа представленного им процесса, а также если известны:

∆1,∆2,∆3…….∆i — первые, вторые, третьи и т.д. разности или абсолютные ускорения; Tp∆′ — темпы роста первых абсолютных приростов уровней;

∆′lgyi — первые абсолютные приросты логарифмов уровней; Тр — темпы роста.

В этих случаях критерии выбора типа кривой следующие (табл. 2.11).

Таблица 2.11.

Критерии выбора класса, выравнивающих кривых

Для полиномиальных моделей характерно отсутствие прямой связи между абсолютными приростами и приростами уровней рядов динамики.

47

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Предполагаемой функцией, отражающей процесс роста явления, может быть и экспонента yt = a0 a1t или yt = a0 a1b1t+b2t2 . Экспоненты характеризуют прирост, зависящий от величины основания функции. Прологарифмировав левую и правую части, найдем lg yt = lga0 + t lga1 ; lg yt = lga0 + (b1t + b2t2 ) lga1 , то есть логарифмические кривые. После замены lg a0 = c0 и lg a1 = c1 получим уравнение lg yt = c0 + c1t , из которого видно, что

логарифм ординаты линейно зависит от t.

Вторая функция после логарифмирования дает уравнение логарифмической параболы lg yt = a0 + b2t + b2t2 , в котором темп прироста линейно зависит от времени.

Надо помнить, что практика моделирования свидетельствует о том, что выбор тех или иных кривых всегда оказывается под воздействием представлений о желаемой форме кривой, и что на координатном поле, отображающем расстояние точек, можно построить бесконечное множество кривых. При этом необходимо отражать особенности процесса. Свойства процесса должны соответствовать свойствам функций, используемых для построения моделей.

Надо иметь в виду, что отдельные уравнения выражают определенный тип дина-

мики.

Монотонное возрастание или убывание процесса характеризуют функции:

–линейная;

–параболическая;

–степенная;

–экспоненциальная простая (показательная) и производная от нее логарифмическая линейная;

–сложная экспоненциальная и производная от нее логарифмическая парабола;

–гиперболическая (главным образом убывающих процессов);

–комбинация их видов.

Для моделирования динамических рядов, которые характеризуются стремлением к некоторой предельной величине, насыщением, применяются логистические функции.

Логистическую функцию часто записывают в следующем виде:

Логистическая кривая симметрична относительно точки перегиба и при t = −∞ стремится к нулю, а при t = +∞ стремится к некоторой постоянной величине, к которой кривая асимптотически приближается. Если найти вторую производную от yt по t и приравнять ее к нулю, то для логистической кривой, выражаемой через е, место положения

точки перегиба кривой равно: t = lga1 : a0 ; yt = n : 2.

Тип процессов, характеризующихся наличием экстремальных значений, описывается кривой Гомперца, имеющей следующее выражение:

48

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Возможны четыре варианта этой кривой. Для экономистов наибольшее значение имеет кривая, у которой lg a0 < 0 и a1 < 1. Развитие уровня такой кривой имеет следующие этапы: если коэффициент a1 меньше единицы при отрицательном значении lg a0, то на первом этапе прирост кривой незначителен. Он медленно увеличивается по мере роста t, но на следующем этапе прирост увеличивается быстрее, а затем, после точки перегиба, прирост начинает уменьшаться; подойдя к линии асимптоты, прирост кривой опять незначителен.

Прологарифмировав функцию Гомперца, получим:

lg yt = lgk + a1t lga0 .

Следовательно, после логарифмирования получим модифицированную экспоненту. Введя в модифицированной экспоненте величину, обратную yt, получим сходство с кривой Гомперца. Однако различие состоит в том, что изменение во времени первых разностей кривой Гомперца асимметрично, а у логистической кривой их изменение во времени имеет симметричный вид, напоминающий нормальное распределение.

При выборе формы тренда наряду с теоретическим анализом закономерностей развития изучаемого явления используются эмпирические методы, такие как:

–расчет и анализ средней квадратической ошибки;

–критерий наименьшей суммы квадратов отклонений эмпирических и теоретических значений уровней временного ряда.

–метод разностного исчисления;

–метод дисперсионного анализа.

Средняя квадратическая ошибка определяется по формуле:

Чем меньше значение ошибки, тем функция наилучшим образом описывает тенденцию исходного временного ряда.

На основе приведенного выше примера рассмотрим порядок расчета средней квадратической ошибки по линейному тренду и параболе второго порядка показателя объема платных услуг населению РФ.

Так, например, для уравнения линейного тренда, средняя квадратическая ошибка составит:

а для параболы второго порядка:

Анализ приведенных значений средних квадратических ошибок свидетельствует о том, что уравнение параболы второго порядка наиболее точно описывает тенденцию изменения объема платных услуг населению РФ.

49

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Критерий наименьшей суммы квадратов отклонений эмпирических уровней от теоретических ∑(yi − yt )2 →min также предполагает, что наилучшим образом тен-

денция описывается трендом, которому соответствует наименьшее значение суммы квадратов отклонений.

Так на основе приведенных в таблице расчетов видно, что для уравнения линейного тренда, описывающего тенденцию изменения объема платных услуг населению РФ

∑(yi − yt )2 = 5,44 , а для уравнения параболы второго порядка ∑(yi − yt )2 = 4,54. Следо-

вательно, уравнение параболы второго порядка наиболее точно описывает тенденцию изменения объема платных услуг населению РФ.

Дисперсионный метод анализа основывается на сравнении дисперсий.

Суть метода вследующем: общая дисперсия временного ряда делится на две части:

•вариация вследствие тенденции Vf(t);

•случайная вариация Vε :

Vобщ = Vf(t) + VEt

Общая вариация определяется как сумма квадратов отклонений эмпирических

значений уровней ряда (yt) от среднего уровня исходного временного ряда ( y ), то есть из выражения вида:

Случайная вариация — это сумма квадратов отклонений эмпирических значений

уровней (yt) от теоретических полученных по уравнению тренда ( yt ), и определяется по выражению следующего вида:

Вариация вследствие тенденции определяется как разность общей и случайной вариаций из выражения вида:

На основе рассмотренных показателей вариации определяются различные виды дисперсии:

50