2 / UMKD_Muravev_Analiticheskaya_mehanika_ / 4_lekcii / Lekciya8

Лекция 8. Движение в центральном поле. Финитное и инфинитное движение. Падение на центр

Выберем начло координат в центре поля (См. рисунок). В начальный момент времени частица находилась в како-то точке , имела импульс и, следовательно, имела относительно центра поля момент импульса . Как нам уже известно, при движении в ЦС поле сохраняется момент импульса относительно центра поля:

(1)

Следовательно, в каждый момент времени величины и . Поэтому из закона сохранения момента импульса сразу следует, что траектория движение частицы в ЦС всегда остается в одной плоскости, перпендикулярной . Но это означает, что рассматриваемая задача имеет две степени свободы: s=2, а общее решение уравнений движения должно содержать четыре произвольные константы.Выберем ось вдоль вектора , так, что

, т.е. (2)

При таком выборе оси движение частицы будет происходить в плоскости . (см. рисунок).

Используем далее полярные координаты и . В полярных координатах ф. Лагранжа имеет известный нам вид:

(3)

Уравнения Лагранжа будут выглядеть так:

; (4)

; (5)

Поскольку ф. Лагранжа не зависит явно от угла , то координата является циклической. Поэтому из уравнения Лагранжа (5) сразу следует, что сохраняется обобщенный импульс:. Как нам известно, величина . Но при нашем выборе осей координат . Поэтому уравнение (5) выражает закон сохранения момента импульса относительно центра поля:

(6)

Закон сохранения момента при плоском движении допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Выражение есть площадь сектора, образованными двумя бесконечно близкими радиус-векторами с углом между ними и элементом дуги траектории. Поэтому закон сохранения момента импульса (6) можно записать в виде:

(7)

Производную называют секториальной скоростью, а закон сохранения момента импульса иногда называется интегралом площадей: за равные промежутки времени радиус-вектор движущейся точки описывает равные площади (второй закон Кеплера).

Из формулы (6) получаем, что

(8)

Следовательно, угол монотонно возрастает со временем, т.е. угловая скорость частицы . Из (8) сразу следует, что наибольшее значение угловая скорость достигает при наименьшем расстоянии частицы от центра поля:

(9)

Полное решение задачи о движении в ЦС проще всего получить, используя законы сохранения энергии и импульса:

(10)

Из второго уравнения (10) сразу находим угловую скорость

(11)

Подставляя (11) в первое уравнение (10) получаем:

(12)

Здесь - так называемая «эффективная» потенциальная энергия частицы в ЦС поле:

(13)

Величину называют центробежной энергией. Соответствующая её центробежная сила всегда является силой отталкивания:

. (14)

Только в тех случаях, когда , величина эффективной потенциальной энергии совпадает с истинной потенциальной энергией частицы:

(15)

Уравнение (12) для радиального движения частицы формально похоже на одномерное уравнение движение частицы с одной степенью свободы, изученное нами ранее. Однако следует помнить, что в рассматриваемой задаче величина всегда положительна: и точка является центром поля. Кроме того, если , то это не точка остановки, как при истинном одномерном движении, а точка остановки радиального движения. Границы области движения (по расстоянию от центра) определяются условием:

(16)

Уравнение

(17)

определяет минимальное и максимальное расстояния от частицы до центра поля. Следует обратить внимание на то обстоятельство, что величины и зависят от и , как от параметров рассматриваемой задачи. Из уравнения (12) сразу находим, что

(18)

Разделяя переменные, получаем:

(19)

Формула (19) определяет (в неявном виде) зависимость расстояния от частицы до центра поля в любой момент времени . Переписав уравнение (11) и (18) в виде

, ,

получаем уравнение траектории:

(20)

Здесь - начальный азимутальный угол. Формула (20) определяет уравнение траектории частицы в плоскости в полярных координатах. Таким образом, формулы (19) и (20) полностью решают задачу о движении частицы в произвольном ЦС поле . вся сложность решения такого рода задач смещается из плоскости физической в математическую плоскость.

Из уравнения (17) находим точки поворота. Если это уравнение имеет всего один корень , то движение частицы инфинитно: её траектория, начинаясь в точке , пройдет через некоторое время точку наибольшего сближения и затем уйдет на бесконечность. Если уравнение (17) имеет два корня и , то движение частицы финитно. В этом случае траектория частицы целиком лежит внутри кольца , ограниченного окружностями и .

Но это вовсе не означает, что при финитном движении траектория частицы непременно является замкнутой кривой. За время, в течение которого расстояние изменяется от величины до и обратно до , радиус вектор повернется на угол (согласно формуле (20)) на величину

. (21)

Условие замкнутости траектории выражается условием: . Тогда, через повторений периода времени радиус вектор точки, сделав полных оборотов, совпадет со своим первоначальным значением, т.е. траектория замкнется. Можно строго показать, что такая ситуация возможна только для двух потенциалов: (задача Кеплера) и (пространственный осциллятор).

В заключение этого раздела рассмотрим вопрос о возможности падения частицы на центр поля, когда поле носит характер притяжения.

Сначала рассмотрим простейший случай, когда . Это будет иметь место, когда либо начальная скорость равна нулю (), либо когда вектор коллениарен вектору . Понятно, что во всех этих случаях движение будет прямолинейным: - это уравнение прямой в полярных координатах.

Если или , то падение на центр неизбежно. Если же начальная скорость направлена от центра, то возможны два случая:

1. Уравнение не будет иметь решения при . Тогда частица удалится на бесконечность.

2. Уравнение будет имеет корень . Тогда траектория частицы будет состоять из двух частей. На первом участке частица будет удаляться от центра до расстояния . В точке частица, имея нулевую скорость, под действием сил притяжения начнет двигаться в обратную сторону и в конечном итоге упадет на центр поля притяжения.

Наконец рассмотрим вопрос о возможности падения на центр в общем случае, когда . Наличие центробежной энергии, стремящейся при к по закону , делает обычно невозможным проникновения частиц к центру поля, даже если это поле притяжения. Теоретически, падение на центр возможно лишь тогда, если достаточно быстро стремиться к при . Перепишем условие, определяющее область допустимых расстояний, в виде:

(22)

Необходимо, чтобы это условие выполнялось вплоть до точки . Полагая в последней формуле , запишем её так:

(23)

Здесь учтено, что при , величина , независимо от значения полной энергии . Последнее неравенство может выполняться в двух случаях:

1. Если , при (24)

2. Если , при (25)

Конечно, полученные ограничения на вид потенциальной энергии, означают только, что при их выполнении падение частицы на центр возможно в принципе, т.е. они являются необходимыми условиями падения на центр поля. Но их выполнение вовсе не означает, что в процессе движения частица достигнет центра поля. Это зависит от начальных условий. Например, начальные условия в любом центральном поле можно выбрать так, чтобы частица вращалась по окружности вокруг центра поля. В этом случае падения на центр поля не будет, даже если установленные выше условия будут выполнены.

6