1.8. Конденсация Бозе – Эйнштейна
Бозе-эйнштейновская конденсация. Возбуждения в неидеальном бозе-газе. Сверхтекучесть. Критерий сверхтекучести Ландау
Статистика Бозе – Эйнштейна.
Рассмотрим газ частиц с симметричной волновой функцией, описываемых во вторичном квантовании операторами рождения и уничтожения и подчиняющихся следующим коммутационным соотношениям:
|
akak' ak'ak kk', |
akak' ak'ak 0, akak' ak'ak 0 |
|
|||||
Действие операторов в представлении чисел заполнения: |
||||||||
ak | nk |
|
| nk 1 , ak | nk |
|
| nk 1 , |
akak | nk nk | nk |
|
||
nk |
nk 1 |
при |
||||||
Числа |
заполнения |
квантовых |
состояний |
|||||
симметричных волновых функциях ничем не ограничены и могут иметь произвольные значения
Статистическая |
сумма |
для |
системы |
невзаимодействующих частиц: |
|
|
|
Q exp{ N/ T}[ exp{ EnN / T}] (exp[ ( k )])nk |
|
||
N |
n |
nk |
|
Химический потенциал должен быть отрицателен
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бозе-газ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Термодинамический потенциал: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T lnQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
T ln(1 exp[ |
q |
]) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Средние числа заполнения: |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n (T) n |
|
a a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
exp[ |
k |
|
] 1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Полное число частиц в газе: |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Vm3 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
k |
|
|
|
] |
1 |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
] |
1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
exp[ |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp[ |
T |
|
|||||||||||||||||||||
Энергия бозе-газа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Vm3 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
E k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
k |
|
|
|
|
] 1 |
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
] |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
exp[ |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp[ |
T |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3
Бозе. -газ
Низкие |
|
температуры: |
химический |
||||||||||
достигает нулевого |
значения |
при |
|||||||||||
|
(mT )3 / 2 |
|
z |
|
|
(mT )3 / 2 |
|||||||
конденсации0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
N/ V |
|
2 3 |
dz |
|
|
|
|
|
|
||||
exp[z] 1 |
|
|
3 / 2 3 |
||||||||||
|
|
||||||||||||
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|||
|
|
2 |
|
2 |
N 2 / 3 |
|
|
|
2 |
N |
|||
T |
|
|
|
|
|
( ) |
3.31 |
|
( ) |
||||
|
(3/ 2) 2 / 3 m |
m |
|||||||||||
0 |
|
V |
|
|
|
|
V |
||||||
потенциал
температуре
(3/ 2)
2 / 3
Число частицV(сmTненулевой)3 / 2 |
энеzргией: |
T |
3 / 2 |
|||||||||||
|
N 0 |
|
|
|
|
dz |
|
N{ |
|
} |
||||
|
|
|
2 3 |
|
exp[z] 1 |
T |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
Число сконденсировавшихсяN N N[1 (T Tчастиц:) ] |
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При температуре T=T0 |
начинается конденсация бозе- |
|||||||||||||
4 |
частиц в низшее энергетическое состояние |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бозе. -газ
Термодинамические величины бозе-газа в условиях наличия конденсата:
|
Vm3/ 2 |
d |
|
|
|
3V(mT)3/ 2 T |
|
||||||
E |
|
|
|
|
|
(5/ 2) |
|||||||
|
|
|
exp[ T] 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 3 |
|
|
|
3/ 2 3 |
|
|||||
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
4 2 |
|
||||
0.770NT[T
T0 ]3/ 2 ,
C E
T 5E
2T ~ T3/ 2 , S [C
T] dT 5E
3T ,
F E TS 23E.
Теплоемкость имеет при T=T0 излом и равна 1.92N. Таким образом, явление бозе-конденсации –
типичный фазовый переход второго рода.
5
Возбуждения. в бозе-газе
В квантовой бозе-системе элементарные возбуждения должны иметь целочисленный спин, так как момент импульса всякой квантово-механической системы может меняться только на целое число. Поэтому в квантовой бозе-жидкости элементарными возбуждениями с малыми импульсами p являются обычные гидродинамические волны, т.е. фононы (квазичастицы с нулевым спином). Таким образом, закон дисперсии
возбуждений должен быть линеен:up
p
Функция распределения возбуждений: |
||||||
n(p) |
1 |
|
|
. |
||
exp[ |
p |
] 1 |
||||
|
|
|||||
|
|
|
||||
|
|
T |
|
|||
При низких температурах возбуждения практически не взаимодействуют и их можно считать идеальным бозе-
6газом с нулевым химпотенциалом
Возбуждения. в бозе-газе
Термодинамические величины жидкости при низких
температурах:1 |
|
|
3 |
up |
|
2 |
4 |
||
E V |
|
|
d p |
|
|
|
|
VT , |
|
|
3 |
exp[up T] 1 |
3 |
||||||
|
(2 ) |
|
0 |
|
|
|
|
30u |
|
C E
T 4E
T ~ T3,
S [C
T] dT 4E
3T ,
F E TS 13E.
При увеличении импульса закон дисперсии
отличается от линейного, и дальнейший ход
зависимости определяется взаимодействием между
частицами бозе-газа
Рассмотрим слабо неидеальный бозе-газ с
одинаковым взаимодействием |
U между парами |
|||
H papap |
U |
ap4 ap3ap2 ap1 |
||
|
|
|
|
|
частиц, описываемый гамильтонианом |
||||
p |
2V p1p2p3p4 |
p4 |
|
|
7 |
|
p1 p2 p3 |
|
|
|
|
|
|
|
Возбуждения. в бозе-газе
Упростим взаимодействующую часть гамильтониана, учитывая, что в основном состоянии частицы
|
находятся в конденсате, и ввиду слабости |
||||||||||||
|
взаимодействия |
основное |
|
состояние |
|||||||||
|
взаимодействующего газа будет слабо отличаться от |
||||||||||||
|
основного состояния идеального газа, поэтому число |
||||||||||||
|
частиц |
над конденсатом будет много меньше числа |
|||||||||||
|
Hint |
U |
{a0a0a0a0 (2apa0apa0 |
2a |
pa0a |
pa0 |
apa pa0a0 |
a0a0apa p)}. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2V |
|
|
|
|
p 0 |
|
|
|
|
|
|
|
конденсатных частиц: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
U 2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Hint |
|
|
N0 |
N0 (2apap |
2a pa p apa p apa p) |
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
Взаимодействующая |
часть |
|
гамильтониана |
|||||||||
|
|
|
|
2V |
|
p 0 |
|
|
|
|
|
||
|
переписывается в виде |
|
|
|
|
|
|||||||
N N0 12 p 0(apap a pa p)
Учтем выражение для полного числа частиц:
8
Возбуждения. в бозе-газе
Полный гамильтониан:
|
|
UN2 |
|
1 |
[( |
p2 |
|
UN)(apap a pa p) UN(apa p apa p )]. |
|||||||||||||||
H |
|||||||||||||||||||||||
|
2m |
||||||||||||||||||||||
|
|
2V |
|
|
2p 0 |
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|||||
Введем линейные преобразования операторов: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
1 |
|
|
( |
p |
A |
), a |
1 |
|
|
( |
A |
p |
) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
p |
1 A2 |
|
|
|
|
|
p p |
p |
1 |
A2 |
|
p |
p |
|
|||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
Подставляя их в гамильтониан и обозначая S=UN/V, Sp=p2/2m+S, p=1+Ap2, Wp=1-Ap2, получаем:
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
H SN/ 2 |
|
|
SpAp SAp |
|
|
|
|
{Sp p 2SAp}( p p p p) |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
p 0 W |
|
|
|
|
|
2p 0 W |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2p 0 |
|
{2SpAp S p}( p p p p) . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
W |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2S A S |
|
0 |
A 1 |
( S |
|
|
) |
|
|||||||||
|
|
p |
S2 |
S2 |
|
||||||||||||||
9 |
|
|
p p |
|
|
|
|
|
p |
S |
|
p |
|
p |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Возбуждения. в бозе-газе
Полная энергия системы:
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E H E0 |
|
|
|
|
|
|
|
Epnp , |
||||||||||
|
Ep p |
p p p E0 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2p 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
p np , |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
E0 SN/ 2 1 |
SAp , |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p 0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
UN |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
UN |
|
|
||||||
|
|
Ep Sp |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
V |
V |
|
|
|
|||
В предельных случаях спектр возбуждений имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
u |
|
UN mV, |
p 0; |
||
|
|
up, |
|
|||||
|
|
p |
|
p2 |
2m, |
p . |
||
|
|
|
||||||
|
|
Из вида спектра возбуждений |
видно, что локальных |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
минимумов на нем нет, так как смене линейной на |
||||||
|
|
квадратичную зависимость соответствует только точка |
||||||
10 |
|
перегиба |
|
|
|
|
|
|